数论

費馬

皮埃爾·德·費馬（1601–1665）沒有著作出版，他在數論上的貢獻幾乎都在他寫給其他數學家的信上，以及書旁的空白處[4]。費馬的貢獻幾乎沒有數論上的證明[5]，不過費馬重覆的使用數學歸納法，並引入无穷递降法。

費馬最早的興趣是在完全數及相亲数，因此開始研究整數因數，這也開始1636年之後的數學研究，也接觸到當時的數學社群[6]。他已在1643年研讀過巴歇版本的丟番圖著作，他的興趣開始轉向丟番圖方程和平方數的和[7]。

費馬在數論上的貢獻有：

• 費馬小定理 (1640)[8]，若${\displaystyle a}$不是質數${\displaystyle p}$的倍數，則${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.}$
• 若${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$互質，則${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$無法被任何除4後同餘-1的質數整除[9]，而且每個除4後同餘1的質數都可以表示為${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$.[10]，這二個是在1640年證明的，在1649年他在寫給惠更斯的信上提到他用无穷递降法證明的第二個問題[11]，費馬和福蘭尼可在其他平方形式上也有一些貢獻，不過其中有些錯誤及不嚴謹之處[12]。
• 向英國的數學家提出了求解${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1}$的挑戰（1657年），但在幾個月後就由Wallis及Brouncker證明[13]。費馬認為他們的證明有效，但用了一個在其中未經證明的演算法，費馬自己是由无穷递降法找到證明。
• 發展許多找亏格0或1曲線上點的方法，作法類似丟番圖，有許多特殊的步驟，使用了切線法構建曲線，而不是用割線法[14]。
• 證明${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{4}}$不存在非尋常的正整數解。

費馬在1637年聲稱（費馬最後定理）證明了對於大於2的任意整數${\displaystyle n}$，不存在 ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$的非尋常的正整數解（目前已知唯一的证明是由數學家安德魯·懷爾斯及其學生理查·泰勒證明，遠遠的超過他的時代），但只在一本丟番圖著作的旁邊寫到，而且他沒有向別人宣稱他已有了證明[15]。

歐拉

歐拉(1707–1783)對數論的興趣最早是由他的朋友哥德巴赫所引發，讓他開始專注在費馬的一些研究上[16][17]，在費馬沒有使當代的數學家注意此一主題後，歐拉的出現稱為「現代數論的重生」[18]。歐拉數論的貢獻包括以下幾項[19]：

• 費馬研究的證明，包括費馬小定理（歐拉延伸到非質數的模數），以及${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$若且唯若${\displaystyle p\equiv 1\;mod\;4}$，這項研究可推導到所有整數都可以表示為四個平方數的證明（第一個完整證明是由約瑟夫·拉格朗日提出，費馬很快的也提出證明），和${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{2}}$沒有非零整數解的證明，表示為費馬最後定理${\displaystyle n=4}$時成立，歐拉用類似方式證明了${\displaystyle n=3}$的情形。
• 佩爾方程，最早誤以為是歐拉證明[20]，歐拉也寫了連分數和佩爾方程的關係[21]。
• 二次式，繼費馬之後，歐拉繼續研究哪些質數可以表示為${\displaystyle x^{2}+Ny^{2}}$，其中有些顯示二次互反律的性質[22] [23][24]。
• 丟番圖方程：歐拉研究一些虧格為0或1的丟番圖方程[25][26]，特別的是他研讀丟番圖的著作，試圖要找到系統化的方法，但時機尚不成熟，幾何數論才剛形成而已[27]。歐拉有注意到丟番圖方程和椭圆积分之間的關係[27]。