狄利克雷定理

狄利克雷定理狄利克雷于1837年发表的数论中关于质数同余类中分布的定理:对于任意互质正整数同余的质数集合相对质数集合密度

定理内容

狄利克雷定理表明:

互质,则
其中,欧拉函数为质数计数函数,为模同余集合中小于的质数个数。

质数在同余类中的分布

狄利克雷定理揭示了质数在同余类中的分布。

形象地说,在模同余类中,除去不包含或仅包含有限个质数的同余集合,质数的分布是大致均匀的。

  • 为例:共有个模同余集合,其中同余集合不包含或只含有限个质数,剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合中:
在不大于的质数中,质数在中的比率分别为
在不大于的质数中,质数在中的比率分别为
在不大于的质数中,质数在中的比率分别为
  • 为例:共有个模同余集合,其中同余集合不包含或只含有限个质数,剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合中:
不大于的质数中,质数在中的比率分别为
在不大于的质数中,质数在中的比率分别为
在不大于的质数中,质数在中的比率分别为

相關定理

  • 歐幾里得證明了有無限個質數,即有無限多個質數的形式如
  • 算術級數的質數定理:若互質,則有

其中φ是歐拉函數。取,可得一般的質數定理

  • 林尼克定理說明了級數中最小的質數的範圍:算術級數中最小的質數少於,其中均為常數,但這兩個常數的最小值尚未找到。
  • 柴伯塔瑞夫密度定理是在狄利克雷定理在伽羅瓦擴張的推廣。

歷史

歐拉曾以,來證明質數有無限個。約翰·彼得·狄利克雷得以靈感,借助證明來證明算術級數中有無限個質數。這個定理的證明中引入了狄利克雷L函數,應用了一些解析數學的技巧,是解析數論的重要里程碑。

推廣

這個定理的一些推廣形式,但是都還只是未被證明的猜想而已,並不是定理。

  • 布尼亞科夫斯基猜想,推廣至>=2次的多項式
  • 狄克森猜想,推廣至>=2個多項式
  • 欣策爾假設H,上述兩個推廣合併

參考

  • T. M. Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90163-9. Chapter 7
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