狄利克雷定理

狄利克雷定理揭示了质数在同余类中的分布。

形象地说，在模${\displaystyle N}$同余类中，除去不包含或仅包含有限个质数的同余集合，质数的分布是大致均匀的。

• 以${\displaystyle N=6}$为例：共有${\displaystyle [0],[1],[2],[3],[4],[5]}$共${\displaystyle 6}$个模${\displaystyle N}$同余集合，其中同余集合${\displaystyle [0],[2],[3],[4]}$不包含或只含有限个质数，剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合${\displaystyle [1],[5]}$中：

在不大于${\displaystyle 10,000}$的质数中，质数在${\displaystyle [1],[5]}$中的比率分别为${\displaystyle 49.67\%}$和${\displaystyle 50.16\%}$；

在不大于${\displaystyle 100,000}$的质数中，质数在${\displaystyle [1],[5]}$中的比率分别为${\displaystyle 49.88\%}$和${\displaystyle 50.10\%}$；

在不大于${\displaystyle 1,000,000}$的质数中，质数在${\displaystyle [1],[5]}$中的比率分别为${\displaystyle 49.98\%}$和${\displaystyle 50.02\%}$。

• 以${\displaystyle N=8}$为例：共有${\displaystyle [0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7]}$共${\displaystyle 8}$个模${\displaystyle N}$同余集合，其中同余集合${\displaystyle [0],[2],[4],[6]}$不包含或只含有限个质数，剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合${\displaystyle [1],[3],[5],[7]}$中：

不大于${\displaystyle 10,000}$的质数中，质数在${\displaystyle [1],[3],[5],[7]}$中的比率分别为${\displaystyle 23.98\%,25.28\%,25.53\%}$和${\displaystyle 25.12\%}$；

在不大于${\displaystyle 100,000}$的质数中，质数在${\displaystyle [1],[3],[5],[7]}$中的比率分别为${\displaystyle 24.85\%,25.12\%,25.01\%}$和${\displaystyle 25.01\%}$；

在不大于${\displaystyle 1,000,000}$的质数中，质数在${\displaystyle [1],[3],[5],[7]}$中的比率分别为${\displaystyle 24.91\%,25.04\%,25.00\%}$和${\displaystyle 25.06\%}$；