全等三角形

這兩個三角形可以SSS來驗證全等。

如右圖

	${\displaystyle \triangle ABC}$	${\displaystyle \triangle CDA}$	原因
邊（一）	${\displaystyle {\overline {AC}}}$	${\displaystyle {\overline {CA}}}$	共用邊
邊（二）	${\displaystyle {\overline {BC}}}$	${\displaystyle {\overline {DA}}}$	已知
邊（三）	${\displaystyle {\overline {AB}}}$	${\displaystyle {\overline {CD}}}$	已知

${\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle CDA\,\!}$ 此时三边已知，三个角可分别由余弦定理计算，由于 ${\displaystyle \cos {}}$ 在 0°到 180°之间是单调的所以${\displaystyle \arccos {}}$可保证解出唯一值。

這兩個三角形可以用SAS驗證全等。

如右圖

	${\displaystyle \triangle ABC}$	${\displaystyle \triangle ADC}$	原因
邊（一）	${\displaystyle {\overline {AC}}}$	${\displaystyle {\overline {AC}}}$	共用邊
角	${\displaystyle \angle BAC}$	${\displaystyle \angle DAC}$	已知
邊（二）	${\displaystyle {\overline {AB}}}$	${\displaystyle {\overline {AD}}}$	已知

${\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle ADC\,\!}$ 此时两边夹一角已知，首先用余弦定理计算第三边，接下来与 sss 的情况相同。

這兩個三角形可以用ASA來驗證全等。

如右圖

	${\displaystyle \triangle ABC}$	${\displaystyle \triangle AED}$	原因
角（一）	${\displaystyle \angle BAC}$	${\displaystyle \angle EAD}$	共用角
邊	${\displaystyle {\overline {AC}}}$	${\displaystyle {\overline {AD}}}$	已知
角（二）	${\displaystyle \angle ACB}$	${\displaystyle \angle ADE}$	已知

${\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle AED\,\!}$ 此时两角夹一边已知，通过三角形内角和得到第三角后用正弦定理计算剩下两边。

這兩個三角形可以RHS來驗證全等。

為直角三角形中專用的三角型全等性質 ，即為直角三角形中的SSA ，也稱為斜股性質 ，如右圖

	${\displaystyle \triangle {ABC}}$	${\displaystyle \triangle {DFE}}$	原因
直角	${\displaystyle \angle ACB}$	${\displaystyle \angle DEF}$	已知
斜邊	${\displaystyle {\overline {AB}}}$	${\displaystyle {\overline {DF}}}$	已知
邊	${\displaystyle {\overline {BC}}}$	${\displaystyle {\overline {FE}}}$	已知

${\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DFE\,\!}$ 勾股定理或是直接連兩边的頂端解出剩下一边，即变成 SSS或SAS。

AAA不能驗證三角形全等。

AAA（角、角、角），指兩個三角形的任何三個角都對應地相同。但這不能判定全等三角形，但AAA能判定相似三角形。在幾何學上，當兩條線疊在一起時，便會形一個點和一個角。而且，若該線無限地廷長，或無限地放大，該角度都不會改變。同理，在左圖中，該兩個三角形是相似三角形，這兩個三角形的關係是放大縮小，因此角度不會改變。

這樣，便能得知若邊無限地根據比例加長，角度都保持不變。因此，AAA並不能判定全等三角形。

从正弦定理的角度看，${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}=2R}$ 这个比例的比值可以任意缩放，因此无法唯一确定三边长度。

SSA不能驗證三角形全等。

SSA（邊、邊、角），也稱為ASS ，指兩個三角形的任一角及另外兩個沒有夾著該角的邊相等。但這不能判定全等三角形。

在右圖中，分別有三角形ABC及三角形DEF，並提供了以下資訊：

• ${\displaystyle \angle BAC=\angle EDF}$
• ${\displaystyle {\overline {AB}}={\overline {DE}}}$
• ${\displaystyle {\overline {BC}}={\overline {EF}}}$

那即是SSA。假如在右圖繪畫一個圓形，中心點為點E，半徑為${\displaystyle {\overline {EF}}}$。透過這個圓形便會發現，${\displaystyle \angle EDF}$和${\displaystyle {\overline {DE}}}$沒有改變下，會出現另一個與${\displaystyle {\overline {EF}}}$一樣長度的直線（即圖中的${\displaystyle {\overline {EG}}}$）。這樣便能證明SSA並不能驗證全等三角形，（除非已知${\displaystyle {\overline {BC}}>{\overline {AB}}}$。當是直角三角形時應稱為RHS）。

雖然如此，當${\displaystyle \angle BAC}$≥ 90°時，${\displaystyle \angle BAC>\angle ACB}$。又${\displaystyle \angle BAC>\angle ACB}$⇔${\displaystyle {\overline {BC}}>{\overline {AB}}}$，${\displaystyle {\overline {BC}}>{\overline {AB}}}$，故可驗證全等三角形。

再次使用正弦定理，${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}=2R}$ 其中已知 ${\displaystyle a={\overline {DE}}}$、${\displaystyle c={\overline {EG}}={\overline {EF}}}$ 和 ${\displaystyle \alpha =\angle D}$，可解出 ${\displaystyle \sin {\gamma }}$，但 ${\displaystyle \sin {}}$ 在 0°到 180°上先升后降导致 ${\displaystyle \arcsin {}}$ 有两解，即 ${\displaystyle \gamma }$ 可能是钝角或锐角（或退化为只有一解是直角的特殊情况，此处略去），分别对应图中的 ${\displaystyle \angle DGE}$ 和 ${\displaystyle \angle DFE}$。然而若已知该三角形是直角或钝角三角形时，可以视情况排除掉其中的一个解、进而唯一确定 ${\displaystyle \gamma }$，此时做减法得出 ${\displaystyle \beta }$ 后即可用余弦定理解得最后一边 ${\displaystyle B}$。