关系 (数学)

參考一個如「X認為Y喜歡Z」之類的關係，其實際情形如下：

上表的每一行都代表著一個事實，並給出「X認為Y喜歡Z」此類形式的斷言。例如，第一行即表示「韻如認為凯文喜歡佳馨」。上表表示一個在集合P上的關係S，其中：

P = {韻如，凯文，正乾，佳馨}

包括表中所有的人物。表中的資料則等同於如下的有序對：

S = {(韻如，凯文，佳馨), (正乾，韻如，凯文), (正乾，正乾，韻如), (佳馨，佳馨，佳馨)}

若較不嚴謹些，通常會將S(韻如，凯文，佳馨)用來指上表中第一行的同一種關係。關係S為「三元」關係，因為每一行都包含了「三個」項目。關係是一個以集合論中的概念定義出的數學物件（即關係為{X,Y,Z}的笛卡兒積的子集），包含了表中所有的訊息。因此，數學上來說，關係純粹是個集合。

k元關係在數學上有兩種常見的定義。

定義1在集合X₁,…,X_k上的關係L是指集合的笛卡兒積的子集，寫成L ⊆ X₁ ×…× X_k。因此，在此定義下，k元關係就是個k元組的集合。

第二個定義用到數學上一個常見的習慣－說「某某為一n元組」即表示此一某某數學物件是由n組數學物件的描述來判定的。在於集合k上的關係L中，會有k+1件事要描述，即k個集合加上一個這些集合笛卡兒積的子集。在此習慣下，L可以說是一個k+1元組。

定義2在集合X₁,…,X_k上的關係L是一個k+1元組L = (X₁,…, X_k, G(L))，其中G(L)是笛卡兒積X₁ ×…× X_k的子集，稱之為L的「關係圖」。

数学上更有研究意义的是具有某种性质的关系。一些常见的性质包括：自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性。确定一个关系是否具有这些性质，可以通过考察它的关系图或者是关系矩阵来做到。

具有自反性、对称性、传递性的关系称作等价关系。一个常见的例子就是整数的模同余。

具有自反性、反对称性、传递性的关系称作偏序关系。例如自然数集上的大于等于就是偏序关系。

n元谓词就是含有n个变量的布尔值函数。

由于上述的n元关系定义了 (x₁, ..., x_n)属于R时唯一的n元谓词（反之亦然），关系和谓词通常使用相同的符号。所以下列两种写法一般认为是等价的：

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dotsb )\in R}$

${\displaystyle R(x_{1},x_{2},\dotsb )}$

许多事物有多个元素两两关系。例如：

1，无穷个素数都是两两互素。例如素数2,3,5,7,11，就是所有素数之间没有公共因数，我们知道有无穷的素数两两互素；

2，无穷个区域两两相连。例如，一个汽车轮胎形状的环面可以有7个区域两两相连，有两个洞的曲面可以有8个区域两两相连，有三个洞的曲面可以有9个区域两两相连，...。我们知道可以构造无穷的区域两两相连。