冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论

这个理论的标志特征是类和集合的區分。类可以非常大——实际上你可以谈论“所有集合的类”。但是有一个结构性限制以避免“所有类的类”或“所有集合的集合”這樣的描述。

成员关系

${\displaystyle a\in s}$

只定义在 ${\displaystyle a}$ 是集合而 ${\displaystyle s}$ 是集合或类的条件下。

类的構建反映了朴素集合论的構建過程。由於給出了抽象原理，因此從任何带有成员关系的谓词邏輯的陈述，都可以形成相應的类。等於、序对、子类等等的概念都變成定义而不是公理的事情——這些定义都是從公式而來的抽象。

集合的構建跟ZF裡的處理很相似。有一个谓词“Rp”定义如下：

${\displaystyle \mathrm {Rp} (A,a):=\forall x(x\in A\iff x\in a)}$

就是说，一个集合 a 表示（represent）一个类 A，如果 a 的所有元素都是 A 的元素，反之亦然。有些类没有表示，比如不包含自身的所有集合的类。这样的类叫做真类。

这种系统的优点是它搭建出一個框架，以允許談論“大对象”，而不會有涉及悖論的顧慮。比如，在范畴论的某些構建中，若然在一個範疇裡，对象的搜集和态射的搜集可以被表示为真类，那這范畴便稱為大範疇。在另一方面，如果一個範疇的对象和态射能“裝進”集合，就稱之為小範疇。因此我们可以容易的谈论“所有小范畴的范畴”而不會衍生問題。当然，這樣得出的會是个大范畴。

在本节中會展示一个NBG的公理化（实际上有两个不同的公理化，第二个是第一个的改進）。可以把它跟Morse-Kelley集合论的公理化比較一下。

我們把NBG看作有两种类別（two-sorted）的理论，小写字母充当集合变量而大写字母充当类变量。成员关系的陈述需要是如下形式之一： ${\displaystyle x\in y}$ 或 ${\displaystyle x\in Y}$，而等式的陈述需要是如下形式之一 ${\displaystyle x=y}$ 或 ${\displaystyle X=Y}$。通过符号滥用，我们把 ${\displaystyle (\forall x.x\in a\leftrightarrow x\in A)}$ 写为 a=A。

这个理论也可以被表达为单一类別（one-sorted）的理论，通过如下定义来区分集合和类：一个类是集合，如果它是另一个类的元素。

公理如下，不带类字样的公理是关于集合的。

• 类外延性公理：${\displaystyle (\forall x.x\in A\leftrightarrow x\in B)\rightarrow A=B}$：有相同元素的类是相同的。
• 外延性公理：${\displaystyle (\forall x.x\in a\leftrightarrow x\in b)\rightarrow a=b}$：有相同元素的集合是相同的。
• 类概括公理（模式）：如果公式 ${\displaystyle \phi }$ 不包含修飾類的量詞（但${\displaystyle \phi }$還是可以包含类和集合参数），則存在一个對應的类 A使得对于所有 x，${\displaystyle x\in A\leftrightarrow \phi }$。

在樸素集合論裡，使用非限定的公式構成集合，是產生悖論的原因。在NBG系統裡，限定了概括公理的適用情況，並藉此有加以限制的公式構成一個類，從而避免了樸素集合論的悖論。

若把這個公理模式強化，允許量詞修飾類，這樣它就不再是有限可公理化的，可由另一個理论叫做 Morse-Kelley 集合论來描述。

• 配对公理：${\displaystyle \forall x,y.Set(x),Set(y)\leftrightarrow \exists s=\{x,y\}}$：对于任何集合 x 和 y，有一个集合 ${\displaystyle \{x,y\}}$，它的元素精确地是 x 和 y。

注意这个公理允许有序对的定义，并与类概括一起，允许把在集合上的关系適用於類的情況（對於特定的类关系，也可以使用函数、单射或双射的術語了，只不過是「由類到類」而不是「由集合到集合」）。

• 大小限制公理：对于任何类 C，存在一个集合 x 使得 ${\displaystyle Rp(C,x)}$ （謂 x 是 C 的表示，即 C 和 x 所包含的元素一樣），当且仅当没有在 C 和所有集合的类 V 之间的双射。

这个公理贡献自冯·诺伊曼，并一下实现了分离公理、替代公理和全局选择公理。如果需要的话，它可以被弱化为“若类函数的定义域被包含在一个集合中，則其值域亦為集合”；这将去除选择公理（如果需要可以把它替代为更加有用的局部形式的选择公理）。完全的大小限制公理蕴涵了全局选择公理，因为序数的类不是集合，所以有从序数到全集的双射。

• 并集公理：对于任何集合 x，有一个集合精确的包含 x 的元素的元素。
• 幂集公理：对于任何集合 x，有一个集合精确的包含 x 的子集。
• 无穷公理：存在一个集合 y，空集是 y 的元素，且對每個 y 的元素 a ， ${\displaystyle a\cup \{a\}}$ 也是 y 的元素。
• 类基础（正规）公理：若類 A 不是空類，則存在類 A 的元素 x，使得 x 與 A 不具有共同元素（可以理解為不相交）。

我們可以用幾個公理來取代 NBG 的类概括公理模式。 我們將用以下的公理作為例子，但不保证它跟正規的方法一樣。

• 集合公理：对于任何集合 x，有一个类 X 使得 x=X。

这个公理给予我们某些东西作為起始（结合上第一个公理化中的关于集合存在的那些公理），并且使我們可以处理在公式中的集合参数（parameter）。

注意如果 ${\displaystyle A=\{x\mid \phi \}}$ 且 ${\displaystyle B=\{x\mid \psi \}}$，则 ${\displaystyle \{x\mid \neg \phi \}=V-A}$ 且 ${\displaystyle \{x\mid \phi \wedge \psi \}=A\cap B}$。這些已經足够处理所有命题连结词。

• 补类公理：对于任何类 A，补集 ${\displaystyle V-A=\{x\mid x\not \in A\}}$ 是类。
• 交类公理：对于任何类 A 和 B，交集 ${\displaystyle A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}}$ 是类。

现在我们需要处理量化。为了处理多个变量，我们需要能够表示关系。有序对 ${\displaystyle (a,b)}$ 被定义为平常的 ${\displaystyle \{\{a\},\{a,b\}\}}$（我们假定了其他 NBG 公理所以有配对）。

• 积类公理：对于任何类 A 和 B，类 ${\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\wedge b\in B\}}$ 是类（${\displaystyle V\times A}$ 实际上就是我们所需要的全部）。
• 类逆转公理：对于任何类 R， 类 ${\displaystyle Conv1(R)=\{(b,a)\mid (a,b)\in R\}}$ 和 ${\displaystyle Conv2(R)=\{(b,(a,c))\mid (a,(b,c))\in R\}}$ 存在。
• 类结合公理：对于任何类 R，类 ${\displaystyle Assoc1(R)=\{((a,b),c))\mid (a,(b,c))\in R\}}$ 和 ${\displaystyle Assoc2(R)=\{(d,(a,(b,c)))\mid (d,((a,b),c)))\in R\}}$ 存在。

通过这些公理，我们可以自由的增加啞變元（dummy argument）并在任意元数关系中重排變元的次序。看起來有點奇特的结合公理，它正是設計用來作調動，使得我們可以把任一變元提到列表前面（加上逆转公理的辅助）。我们把變元的列表 ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ 表示为 ${\displaystyle (x_{1},(x_{2},\ldots ,x_{n}))}$（它是第一个變元作为它的第一个投影，而列表的“尾部”作为它的第二个投影的有序对）。想法是一直应用 Assoc1 ，直到这个要提到前面的變元位於第二個投影，接着適當地应用 Conv1 或 Conv2 ，把第二个變元提到前面，接着应用 Assoc2 直到最初 Assoc1 一系列應用的效果（现在在被移动的變元之後）被改正。

现在我们观察到如果 ${\displaystyle \{(x,y)\mid \phi (x,y)\}}$ 存在，则集合 ${\displaystyle \{y\mid (\exists x.\phi (x,y))\}}$ 按关系考慮的話，就單純是第一个集合的值域。全称量词可以通過存在量词和否定来定义。

• 类值域公理：对于任何类 R，类 ${\displaystyle Rng(R)=\{y\mid (\exists x.(x,y)\in R)\}}$ 存在。可以使用前面的公理重排變元，把任何单一變元提到變元列表的前面来被量化。

现在我们需要专注于由原子公式表达的关系。

• 类成员公理：类 ${\displaystyle [\in ]=\{(x,y)\mid x\in y\}}$ 存在。
• 类对角公理：类 ${\displaystyle [=]=\{(x,y)\mid \,x=y\}}$ 存在。

通過对角公理、加入啞變量，以及重排變量，可以構造断言它的参数中任意的两个變量相等這樣的关系；這可以被用来处理重复的变量。

• Bernays, Paul. . Dover Publications. 1991. ISBN 978-0-486-66637-2.
• John von Neumann, 1925, "An Axiomatization of Set Theory." English translation in Jean van Heijenoort, ed., 1967. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard University Press.
• Mendelson, Elliott, 1997 (1964). An Introduction to Mathematical Logic, 4th ed. Chapman & Hall. The classic textbook treatment of NBG set theory, showing how it can found mathematics.
• Richard Montague, 1961, "Semantic Closure and Non-Finite Axiomatizability I," in Infinitistic Methods, Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics, (Warsaw, 2-9 September 1959). Pergamon: 45-69.

• von Neumann-Bernays-Gödel set theory on PlanetMath