分離原理

控制理論中的分離原理（separation principle），之前曾稱為估測及控制分離原理（principle of separation of estimation and control）是指若一些假設條件成立的前提下，一隨機系統的最佳回授控制器設計，可以先設計最佳的狀態觀測器，觀測系統狀態，再將狀態反饋到決定性的最佳控制器中，即可求解。因此問題可以分離為二個部份，有助於控制器的設計。

已證明若已針對一线性时不变系統設計了BIBO穩定的狀態觀測器，以及穩定的狀態反馈，將此狀態估測器及控制器合併之後的系統也是穩定的。這就是此原理的例子之一。不過針對非線性系統，此原理不一定會成立。另外一個例子是將LQG控制的求解分解為卡尔曼滤波以及最佳的LQR控制器。若是量子系統的控制，也可以應用分離原理。

確定性线性时不变系統控制理論的證明

考慮一個確定性LTI系統：

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)\end{aligned}}$

其中

u(t)

為輸入信號

y(t)

為輸出信號

x(t)

為系統內部狀態

可以設計以下的估測器

{\dot {\hat {x}}}=(A-LC){\hat {x}}+Bu+Ly\,

及狀態回授

u(t)=-K{\hat {x}}\,.

定義誤差e:

e=x-{\hat {x}}\,.

則

{\dot {e}}=(A-LC)e\,

u(t)=-K(x-e)\,.

可以將閉回路的動態表示為

{\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {e}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A-BK&BK\\0&A-LC\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\e\\\end{bmatrix}}.

因為這是三角矩阵，其特征值即為A − BK的特征值以及 A − LC的特征值[1]。因此估測器及回授的穩定性彼此線性無關。

參考資料

在math.stackexchange question. 页面存档备份，存于中有其證明。

Brezinski, Claude. Computational Aspects of Linear Control (Numerical Methods and Algorithms). Springer, 2002.

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[1] 在math.stackexchange question. 页面存档备份，存于中有其證明。