狀態觀測器

線性非時變離散系統的狀態方程式如下：

${\displaystyle x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)}$

${\displaystyle y(k)=Cx(k)+Du(k)}$

在時間${\displaystyle k}$時，${\displaystyle x(k)}$是系統狀態，${\displaystyle u(k)}$是輸入，${\displaystyle y(k)}$是輸出。狀態方程式提到系統目前的輸出以及未來的狀態是由目前狀態以及目前輸入所決定。若系統有可觀測性，可以用系統輸出${\displaystyle y(k)}$來調整狀態觀測器的狀態。

受控體的觀測器模型可以用上式來推導，也可以加入額外的項，確保觀測器在持續收到系統的輸入及輸出時，其狀態可以收斂到受控體的狀態。可以將系統的輸出減去觀測器的輸出，再乘以矩陣${\displaystyle L}$，再加到狀態觀測器的方程式中，以產生如下式定義的Luenberger觀測器。其中的狀態觀測器的變數會加上hat: ${\displaystyle {\hat {x}}(k)}$和 ${\displaystyle {\hat {y}}(k)}$，以區隔實際系統的變數。

${\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=A{\hat {x}}(k)+L\left[y(k)-{\hat {y}}(k)\right]+Bu(k)}$

${\displaystyle {\hat {y}}(k)=C{\hat {x}}(k)+Du(k)}$

觀測器漸近收斂的條件是觀測器誤差${\displaystyle e(k)={\hat {x}}(k)-x(k)}$在${\displaystyle k\rightarrow \infty }$時，可以收斂到0。此離散系統的Luenberger觀測器漸近收斂的條件是矩陣${\displaystyle A-LC}$的特徵值都在單位圓內。

因為控制的需求，觀測器的輸出除了作為觀測器的輸入，也會透過增益矩陣${\displaystyle K}$，成為受控體的輸入。

${\displaystyle u(k)=-K{\hat {x}}(k)}$

觀測器的方程式會變成：

${\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=A{\hat {x}}(k)+L\left(y(k)-{\hat {y}}(k)\right)-BK{\hat {x}}(k)}$

${\displaystyle {\hat {y}}(k)=C{\hat {x}}(k)-DK{\hat {x}}(k)}$

或是

${\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=\left(A-BK\right){\hat {x}}(k)+L\left(y(k)-{\hat {y}}(k)\right)}$

${\displaystyle {\hat {y}}(k)=\left(C-DK\right){\hat {x}}(k)}$

因為控制理論中的分離原理，可將估測器以及控制器分開設計, 因此可以選擇${\displaystyle K}$和${\displaystyle L}$，以達到系統的整體穩定性。根據經驗法則，會選擇觀測器${\displaystyle A-LC}$ 的極點，使其比系統${\displaystyle A-BK}$極點快十倍以上。

連續系統中的觀測器和離散系統中的類似。會選擇觀測器增益${\displaystyle L}$使連續系統誤差可以漸近收斂到0（當${\displaystyle A-LC}$為赫維茲矩陣時會成立）

針對連續時間線性系統

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu,}$

${\displaystyle y=Cx+Du,}$

其中${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},u\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{r}}$，觀測器類似以上離散系統的例子：

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=A{\hat {x}}+Bu+L\left(y-{\hat {y}}\right)}$.

${\displaystyle {\hat {y}}=C{\hat {x}}+Du,}$

觀測器誤差${\displaystyle e=x-{\hat {x}}}$會滿足下式

${\displaystyle {\dot {e}}=(A-LC)e}$.

若${\displaystyle [A,C]}$有可觀測性，可以適當選擇觀測器增益${\displaystyle L}$，以調整矩陣${\displaystyle A-LC}$的特徵值。另外，也可以使矩陣${\displaystyle A-LC}$為赫維茲矩陣，讓觀測器誤差${\displaystyle e(t)}$可以漸近收斂到0。

若觀測器增益${\displaystyle L}$很高，線性的Luenberger觀測器會很快收斂，但大增益會造成峰值現象（peaking phenomenon），初始的觀測器誤差會非常大，在實際使用上不安全[1]。因此，會用非線性高增益觀測技術，可以快速收斂，又沒有峰值現象。例如可以在觀測器中使用滑動模式控制技術（滑動模式觀測器），使觀測器在有量測誤差的情形下，在有限時間內使觀測器狀態誤差變成零，其他有誤差的狀態，其行為會類似峰值減弱後的Luenberger觀測器。滑動模式觀測器類似卡尔曼滤波，有較理想的抗雜訊能力[2][3]。

另一種作法是用多觀測器（multi observer），可以顯著的改善暫態，抑制觀測器的過沖。多觀測器可以適用在所有適用高增益的系統[4]。

Krener和Isidori[5]，以及Krener和Respondek[6]有針對狀態觀測器的研究，若存在可線性化的轉換（微分同胚，類似回授線性化）${\displaystyle z=\Phi (x)}$，使新變數的系統方程如下

${\displaystyle {\dot {z}}=Az+\phi (y),}$

${\displaystyle y=Cz.}$

Luenberger觀測器可以設計為

${\displaystyle {\dot {\hat {z}}}=A{\hat {z}}+\phi (y)-L\left(C{\hat {z}}-y\right)}$.

轉換後變數${\displaystyle e={\hat {z}}-z}$的觀測器誤差可以滿足同一個方程式

${\displaystyle {\dot {e}}=(A-LC)e}$.

Gauthier、Hammouri和Othman[7] and Hammouri and Kinnaert,[8]已證明，若存在變換${\displaystyle z=\Phi (x)}$，使系統可以轉換為以下的型式

${\displaystyle {\dot {z}}=A(u(t))z+\phi (y,u(t)),}$

${\displaystyle y=Cz,}$

則觀測器可以設計如下

${\displaystyle {\dot {\hat {z}}}=A(u(t)){\hat {z}}+\phi (y,u(t))-L(t)\left(C{\hat {z}}-y\right)}$,

其中${\displaystyle L(t)}$是時變的觀測器增益。

Ciccarella、Dalla Mora和Germani[9]有提供更進階以及一般性的結果，只需要簡單的規律性（regularity）假設，不需要非線性的轉換，證明觀測狀態可以全域收斂到實際狀態。