可数选择公理

作为应用${\displaystyle {\text{AC}}_{\omega }}$的例子，下面是所有无限集合是戴德金无限的一个证明（在${\displaystyle {\text{ZF}}+{\text{AC}}_{\omega }}$中）：

设${\displaystyle X}$是无限的。对于每个自然数${\displaystyle n}$，设${\displaystyle A_{n}}$是${\displaystyle X}$的所有${\displaystyle 2^{n}}$元素子集的集合。因为${\displaystyle X}$是无限的，每个${\displaystyle A_{n}}$是非空的。對序列${\displaystyle A_{n}}$应用${\displaystyle {\text{AC}}_{\omega }}$，便得到了序列（${\displaystyle B_{n}:n=0,1,2,3,\ldots }$)，这里的每个${\displaystyle B_{n}}$是有${\displaystyle 2^{n}}$个元素的${\displaystyle X}$的子集。

集合${\displaystyle B_{n}}$可能是相交的，但是我们可以定义

${\displaystyle C_{0}=B_{0}}$

${\displaystyle C_{n}}$是${\displaystyle B_{n}}$与所有${\displaystyle C_{j}}$的并集的差集，${\displaystyle j<n}$。

明显的每个集合${\displaystyle C_{n}}$都有至少1個和至多${\displaystyle 2^{n}}$个元素，而集合${\displaystyle C_{n}}$是兩兩不相交的。再對序列${\displaystyle C_{n}}$應用${\displaystyle {\text{AC}}_{\omega }}$，便得到了序列${\displaystyle (c_{n}:n=0,1,2,\ldots )}$，其中${\displaystyle c_{n}\in C_{n}}$。

所以所有${\displaystyle c_{n}}$都是相異的，而${\displaystyle X}$包含一个可数集合。定義把每个${\displaystyle c_{n}}$映射到${\displaystyle c_{n+1}}$的函数${\displaystyle f}$（并固定所有${\displaystyle X}$的其他元素），f是从${\displaystyle X}$到${\displaystyle X}$的一一映射，它不是满射，这证明了${\displaystyle X}$是戴德金无限的。

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