实数

实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如${\displaystyle {3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159...}}$所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。實數可以不同方式從有理數构造出來。这里给出其中一种，其他方法请詳見實數的構造。

设 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 是所有实数的集合，则：

• 集合 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 是一个域：可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。
• 域 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 是个有序域，即存在全序关系${\displaystyle \geq }$ ，对所有实数${\displaystyle x,y}$和${\displaystyle z}$：
  • 若${\displaystyle x\geq y}$则${\displaystyle x+z\geq y+z}$·
  • 若${\displaystyle x\geq 0}$且${\displaystyle y\geq 0}$则${\displaystyle xy\geq 0}$
• 集合 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 满足戴德金完备性，即任意 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的非空子集${\displaystyle S(S\subseteq \mathbb {R} ,S\neq \varnothing )}$，若${\displaystyle S}$在 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内有上界，那么${\displaystyle S}$在 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内有上确界。

最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于${\displaystyle 2}$的有理数的集合存在有理数上界，如${\displaystyle 1.5}$；但是不存在有理数上确界（因为${\displaystyle {\sqrt {2}}}$不是有理数）。

實數通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个戴德金完备的有序域 ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}}$和 ${\displaystyle \mathbb {R} _{2}}$，存在从 ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}}$到 ${\displaystyle \mathbb {R} _{2}}$的唯一的域同構，即代數學上兩者可看作是相同。

在实数域内，可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数；只有非负实数才能开偶次方，其结果还是实数。

作为度量空間或一致空間，實數集合是一个完备空间，它有以下性质：

所有實數的柯西序列都有一個實數極限。

有理數集合就不是完备空间。例如，${\displaystyle (1,1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421,\ldots )}$是有理數的柯西序列，但沒有有理數極限。实际上，它有個實數極限${\displaystyle {\sqrt {2}}}$。實數是有理數的完备化：這亦是构造實數集合的一种方法。

实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。

• 首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素（对任意元素${\displaystyle z}$，${\displaystyle z+1}$将更大）。所以，这裡的“完备”不是完备格的意思。

• 另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述「公理」中已经定义。上述的唯一性也说明了这裡的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。

• 这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述「完备性」中所述的只是一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。）当然，${\displaystyle \mathbb {R} }$并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的「阿基米德域」。实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。

• “完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了「最大的」阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是${\displaystyle \mathbb {R} }$的子域。这样${\displaystyle \mathbb {R} }$是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。

• 实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。实际上，实数集的势为2^ω（请参见连续统的势），即自然数集的幂集的势。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。该假设不能被证明是否正确，这是因为它和集合论的ZF(ZFC)公理系统相互独立。

• 所有非负实数的平方根属于${\displaystyle R}$，但这对负数不成立。这表明${\displaystyle R}$上的序是由其代数结构确定的。而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于${\displaystyle R}$。这两个性质使${\displaystyle R}$成为实封闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。

• 实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。

• 实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. Löwenheim-Skolem定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；2. 超实数的集合远远大于${\displaystyle R}$，但也同样满足和${\displaystyle R}$一样的一阶逻辑命题。满足和${\displaystyle R}$一样的一阶逻辑命题的有序域称为${\displaystyle R}$的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在${\displaystyle R}$中证明要简单一些），从而确定这些命题在${\displaystyle R}$中也成立。

實數集構成一個度量空間：${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$間的距離定為絕對值 ${\displaystyle |x-y|}$。作為一個全序集，它也具有序拓撲。這裡，從度量和序關係得到的拓撲相同。實數集又是一維的可縮空間（所以也是連通空間）、局部緊緻空間、可分空間、貝利空間。但實數集不是緊緻空間。這些可以通過特定的性質來確定，例如，無限連續可分的序拓撲必須和實數集同胚。以下是實數的拓撲性質總覽：

• 令${\displaystyle a\;}$為一實數。${\displaystyle a\;}$的鄰是實數集中一個包括一段含有${\displaystyle a\;}$的線段的子集。
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$是可分空間。
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$在${\displaystyle \mathbb {R} }$中處處稠密。
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$的開集是開區間的聯集。
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$的緊子集等价于有界閉集。特別是：所有含端點的有限線段都是緊子集。
• 每個${\displaystyle \mathbb {R} }$中的有界序列都有收斂子序列。
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$是連通且單連通的。
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$中的連通子集是線段、射線與${\displaystyle \mathbb {R} }$本身。由此性質可迅速導出中間值定理。
• 區間套定理：設${\displaystyle (F_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$為一個有界閉集的序列，且${\displaystyle F_{n}\supset F_{n+1}}$，則其交集非空。嚴格表法如下：

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \;\forall m>n\quad F_{m}\subset F_{n}\quad \Rightarrow \quad \bigcap _{n\in \mathbb {N} }F_{n}\;\neq \varnothing \;}$.