可测函数

設${\displaystyle (X,\Sigma )}$與${\displaystyle (Y,\mathrm {T} )}$為可測空間，也就是指Σ是集合X上的σ代數，Τ是Y上的σ代數，若一個函數${\displaystyle f:X\to Y}$被稱為可測函數，則對所有的${\displaystyle E\in \mathrm {T} }$，${\displaystyle E}$在${\displaystyle f}$的原像屬於${\displaystyle \Sigma }$，也就是:

${\displaystyle f^{-1}(E):=\{x\in X|\;f(x)\in E\}\in \Sigma ,\;\;\forall E\in \mathrm {T} .}$

如果 ${\displaystyle f:X\to Y}$ 是可測函數, 我們會記作:

${\displaystyle f\colon (X,\Sigma )\rightarrow (Y,\mathrm {T} ).}$

去強調 ${\displaystyle \sigma }$-代數 ${\displaystyle \Sigma }$ 和 ${\displaystyle \mathrm {T} }$的依賴性。

如果${\displaystyle (X,\Sigma )}$和${\displaystyle (Y,\mathrm {T} )}$是波莱尔空间，则可测函数${\displaystyle f}$又称为波莱尔函数。所有连续函数都是波莱尔函数，但不是所有波莱尔函数都是连续函数。然而，可测函数几乎是连续函数；参见卢辛定理。

根据定义，随机变量是定义在样本空间上的可测函数。

• 两个可测的实函数的和与积也是可测的。
• 如果函数f是${\displaystyle \Sigma _{1}/\Sigma _{2}}$可测的，函数g是${\displaystyle \Sigma _{2}/\mathrm {T} }$可测的，那么复合函数${\displaystyle g\circ f}$是${\displaystyle \Sigma _{1}/T}$可测的。[1]
• 可数个可测函数的最小上界也是可测的。如果${\displaystyle (f_{n})}$是一个可测函数序列，在[−∞, +∞]中取值，那么${\displaystyle \limsup _{n}f_{n}}$也是可测的。
• 可测函数的逐点极限是可测的。（连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件，例如一致收敛。）
• 只有可测函数可以进行勒贝格积分。
• 一个勒贝格可测函数是一个实函数f : R → R，使得对于每一个实数a，集合

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :f(x)>a\}}$

都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征，是f是可测的当且仅当mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积函数g都是可积的。

不是所有的函数都是可测的。例如，如果${\displaystyle A}$是实数轴${\displaystyle \mathbb {R} }$的一个不可测子集，那么它的指示函数${\displaystyle 1_{A}(x)}$是不可测的。

• 可测函数的向量空间：${\displaystyle L^{p}}$空间
• 保测动态系统