函数

函数f的部分图像。每个实数的x都与f（x） = x³ − 9x相联系。

从输入值集合${\displaystyle X}$到可能的输出值集合${\displaystyle Y}$的函数${\displaystyle f}$（记作${\displaystyle f:X\to Y}$）是${\displaystyle X}$与${\displaystyle Y}$的关系，满足如下条件：

1. ${\displaystyle f}$是完全的：对集合${\displaystyle X}$中任一元素${\displaystyle x}$都有集合${\displaystyle Y}$中的元素${\displaystyle y}$满足${\displaystyle xfy}$（${\displaystyle x}$与${\displaystyle y}$是${\displaystyle f}$相关的）。即，对每一个输入值，${\displaystyle y}$中都有与之对应的输出值。
2. ${\displaystyle f}$是多对一的：若${\displaystyle f(x)=y}$且${\displaystyle f(x)=z}$，则${\displaystyle y=z}$。即，多个输入可以映射到一个输出，但一个输入不能映射到多个输出。

定义域中任一${\displaystyle x}$在到達域中唯一对应的${\displaystyle y}$记为${\displaystyle f(x)}$。

比上面定义更简明的表述如下：从${\displaystyle X}$映射到${\displaystyle Y}$的函数${\displaystyle f}$是${\displaystyle X}$与${\displaystyle Y}$的直积${\displaystyle X\times Y}$的子集。${\displaystyle X}$中任一${\displaystyle x}$都与${\displaystyle Y}$中的${\displaystyle y}$唯一对应，且有序对${\displaystyle (x,y)}$属于${\displaystyle f}$。

${\displaystyle X}$与${\displaystyle Y}$的关系若满足条件（1），则为多值函数。函数都是多值函数，但多值函数不都是函数。${\displaystyle X}$与${\displaystyle Y}$的关系若满足条件（2），则为偏函数。函数都是偏函数，但偏函数不都是函数。除非特别指明，本條目中的“函数”总是指同时满足以上两个条件的关系。 考虑如下例子：

（1）一對多。X中的元素3与Y中的两个元素b和c相关。因此这是多值函数，而不是函数。

（2）一對一但非完全對應。X的元素1未与Y的任一元素相关。因此这是偏函数，而不是函数。

（3）完全對應且多对一，因此这是从X到Y的函数。此函数可以表示为f ={(1, d), (2, d), (3, c)}，或${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}d,&{\mbox{if }}x=1\\d,&{\mbox{if }}x=2\\c,&{\mbox{if }}x=3\end{matrix}}\right.}$

函数这个数学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的，用來描述跟曲线相关的一個量，如曲线的斜率或者曲线上的某一点。莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数，数学家之外的普通人一般接触到的函数即属此类。对于可导函数可以讨论它的极限和导数，此两者描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系，是微积分学的基础。中文的“函数”一词由清朝数学家李善兰译出。其《代数学》书中解释：“凡此變數中函（包含）彼變數者，則此為彼之函數”。

• 1718年，約翰·伯努利把函数定义为“一个变量的函数是指由这个变量和常量以任何一种方式组成的一种量。”
• 1748年，伯努利的学生欧拉在《无穷分析引论》一书中说：“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式”，例如${\displaystyle f(x)=\sin(x)+x^{2}}$。
• 1775年，欧拉在《微分学原理》一书中又提出了函数的一个定义：“如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些量是后一些量的函数。”
• 19世纪的数学家开始对数学的各个分支進行形式化。维尔斯特拉斯倡議将微积分学建立在算术，而不是几何的基础上，這種主張較趋向于欧拉的定义。
• 函数的定义得以擴展之後，数学家便能对一些“奇怪”的数学对象进行研究，例如處處不可导的连续函数。这些函数曾经被认为只具有理论价值，迟至20世纪初时它们仍被视作“怪物”。稍后，人们发现这些函数在对如布朗运动之类的物理现象进行建模时有重要的作用。
• 到19世纪末，数学家开始尝试利用集合论来進行数学的形式化。他们试图将每一個数学对象都定义为集合。狄利克雷给出了现代正式的函数定义（参见下文#正式定义）。在他的定義下，函数被视作数学关系的特例。然而对于实际应用的情况，现代定义和欧拉定义的区别可以忽略不计。

• 描述法
• 表格
• 公式法
• 图形

• 单射函数，将不同的輸入值映射到不同的函數值。即：若${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$属于定义域，则仅当${\displaystyle x=y}$时有${\displaystyle f(x)=f(y)}$。
• 满射函数，其值域即为其到達域。即：对於映射${\displaystyle f}$的到達域中之任意${\displaystyle y}$，都存在至少一个${\displaystyle x}$满足${\displaystyle f(x)=y}$。
• 双射函数，既是单射的又是满射的函數。也叫一一对应、對射。双射函数经常被用于表明集合${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$是等势的，即有一样的基数。如果在两个集合之间可以建立一个一一对应，则说这两个集合等势。

• 定义域：原像集，自变量的取值集合。
• 值域：像集，因变量的取值集合。
• 陪域：值域所属的全集。

元素${\displaystyle x\in X}$在${\displaystyle f}$之下的像就是${\displaystyle f(x)}$。

子集${\displaystyle A\subset X}$在${\displaystyle f}$之下的像，是以${\displaystyle A}$的元素的像所組成的集合，為${\displaystyle Y}$的一個子集，即

${\displaystyle f(A):=\{f(x):x\in A\}}$。

注意${\displaystyle f}$的值域就是定義域${\displaystyle X}$的像${\displaystyle f(X)}$。在#正式定义一節的最後例子中，${\displaystyle \{2,3\}}$在${\displaystyle f}$的像是${\displaystyle f(\{2,3\}=\{c,d\}}$，而${\displaystyle f}$的值域是${\displaystyle \{c,d\}}$。

根據此定義，${\displaystyle f}$可引申成為由${\displaystyle X}$的幂集（由${\displaystyle X}$的子集組成的集）到${\displaystyle Y}$的幂集之函數，亦記作${\displaystyle f}$。

子集${\displaystyle B\subset Y}$在${\displaystyle f}$的原像（或逆像）是如下定義的${\displaystyle X}$的子集：

${\displaystyle f^{-1}(B):=\{x\in X:f(x)\in B\}}$。

沿用同一例子，我們可以看到${\displaystyle \{a,b\}}$的原像是${\displaystyle f^{-1}(\{a,b\})=\varnothing }$，即空集。

根據此定義，${\displaystyle f^{-1}(x)}$是由${\displaystyle Y}$的幂集到${\displaystyle X}$的幂集之函數。

以下是${\displaystyle f}$及${\displaystyle f^{-1}}$的一些特性：

• ${\displaystyle f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})}$；
• ${\displaystyle f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})}$；
• ${\displaystyle f(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})}$；
• ${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})}$；
• ${\displaystyle f^{-1}(f(B))\subseteq B}$；
• ${\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}$。

這些特性適合定義域的任意子集${\displaystyle A,A_{1}}$及${\displaystyle A_{2}}$和到達域的任意子集${\displaystyle B,B_{1}}$及${\displaystyle B_{2}}$，甚至可推廣到任意子集群的交集和并集。

• 首都之於国家（若不把多首都国 页面存档备份，存于 计算在内)。
• 每个自然数${\displaystyle n}$的平方${\displaystyle n^{2}}$是${\displaystyle n}$的函數。
• 對數函數。${\displaystyle \ln x}$是正实数${\displaystyle x}$的函數。注意，雖然可以把對數函數推廣到複數情況，但結果就不是函數了，而是多值函數。
• 對每个在${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$平面上的点，其和原点${\displaystyle (0,0)}$的距离是確定的。

常用的数学函数包括多项式函數、根式函數、冪函數、对数函數、有理函数、三角函数、反三角函數等。它们都是初等函数。非初等函数（或特殊函数）包括伽马函數和贝塞尔函数等。

函數可分為

• 奇函數或偶函數
• 連續函數或不連續函數
• 實函數或虛函數
• 純量函數或向量函數
• 单调增函数或单调减函数

函數${\displaystyle f:X\to Y}$及${\displaystyle g:Y\to Z}$的複合函數是

${\displaystyle g\circ f:X\to Z:f(g\circ f)(x)=g(f(x))}$。

舉例，飛機在${\displaystyle t}$时刻的高度是${\displaystyle h(t)}$，而高度${\displaystyle x}$处的氧气浓度是${\displaystyle c(x)}$，則在${\displaystyle t}$时刻飛機周围的氧氣濃度是 ${\displaystyle (c\circ h)(t)}$

若${\displaystyle Y\subset X}$則 ${\displaystyle f}$可自我複合；此時複合函數可記作${\displaystyle f^{2}}$（不要與三角學的符號混淆）。函數的幂的定義是對自然數${\displaystyle n}$有

${\displaystyle f^{n+1}=f^{n}\circ f=f\circ f^{n}}$

${\displaystyle y=x^{2}}$與${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$互為反函数，並且於鏡射於軸${\displaystyle y=x}$上。

对一个函数f: X→Y，若值域Y中任何一个元素y的原象是唯一的，那么这个函数就被称为是双射的。对任意的y∈Y到它的原象ƒ⁻¹(y)的映射，我们称之为f的反函数，记为f⁻¹。

举一个反函数的例子，比如ƒ(x) = x³，它的反函数是ƒ⁻¹(x) = ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$ 。同样，2x的反函数是x/2。反函数是一个函数，它能够“抵消”它的原函数，并具有和原函数相同的单调性。参见逆映射。

給出${\displaystyle Y}$的子集${\displaystyle X}$以及函數

${\displaystyle f:Y\rightarrow Z}$，

則

${\displaystyle f|_{X}:X\rightarrow Z}$

${\displaystyle f|_{X}(x)=f(x)}$

稱為${\displaystyle f}$在${\displaystyle X}$的限制。

反之，若給出函數

${\displaystyle g:X\to Z}$

當一個定義在${\displaystyle Y}$的函數${\displaystyle f:Y\to Z}$有${\displaystyle f|_{X}=g}$，${\displaystyle f}$就是${\displaystyle g}$的擴張。

設函數f: X → R及g: X → R有X為共同的定義域及環R為共同的到達域。我們可以定義“函數和”f + g: X → R及“函數積”f×g：X → R如下：

(f + g)(x) := ƒ(x) + g(x);

f×g(x) := ƒ(x)×g(x);

对于所有X中的x。

這樣子我們得出一個函數組成的環。這是一個抽象性擴張的例子，由此我們從較簡單的結構得出更複雜的。

若然用別的代數結構A代替R，得出的由X到A的函數集會類似地擁有和A相同的代數結構。

歧義函數，也称多值函数，指有輸出值多於一個的情況。例如，4的平方根可以是2或者-2，而兩者的平方皆是4。

嚴格來說，歧義函數不完全算是函數，因為數學函數的定義對於一個輸入值只能有唯一一個輸出值。實際上，這樣的「函數」通常被稱為關係式。复变函数理论采用黎曼面处理函数多值的困境。

设 D 是实数集 R 中的非空子集，称映射 f : D -> R 为定义在 D 上的一元函数。

多元函数（n-元函數）是指輸入值為n-元組的函數。或者說，若一函數的輸入值域為n個集合的笛卡尔积的子集，這函數就是n-元函數。例如，距離函數dist((x,y))是一個二元函數，輸入值是由兩個點組成的序對。另外，多複變函數（即輸入值為複數的多元組）是一個重要的數學課題。

在抽象代數中，運算元其實都是函數，如乘法"*"是個二元函數：當我們寫x*y時，其實是用上了*(x,y)的中綴表示法。

函數式程序设计是一個以函數概念為中心的重要理論範式，其中的运算对象为多元函数，基本语法基于λ演算，而函数的复合则采用代换来完成。特别地，通过一种称为柯里化的变换，可将多元函数变换为一元函数。

所有从整数到整数的可计算函数的个数是可数的，这是因为所有可能的算法个数是可数的。从整数到整数的函数个数要更多些－和实数个数一样多，也就是说是等势的。这说明有些从整数到整数的函数是不可计算的。关于不可计算函数，请参看停机问题和莱斯定理，OEIS中有一個經典的例子： A102288。

在范畴论中，函数的槪念被推廣為態射的槪念。

一個范畴包括一組物件與一組態射，每一個態射是個三元组(X, Y, f)，X稱為源物件（定義域的類比），Y稱為目標物件（到達域的類比），而源物件与目標物件是范畴內的物件。基于这种解释，可以把函数看作集合范畴裡面的態射。

• Visual Calculus页面存档备份，存于 by Lawrence S. Husch, 田納西大學（2001年）

• NIST數學函數页面存档备份，存于
• mysuc.com，经典函数示例
• Wolfram函数网站页面存档备份，存于，汇集了各数学函数的公式和图像
• Was ist eine Funktion? 页面存档备份，存于
• xFunctions页面存档备份，存于一个多功能的Java小程序，可以显示函数的图像，既可以在线使用，也可以下载运行。
• FooPlot 页面存档备份，存于
• Curvas页面存档备份，存于