可觀察量

假設，物理量${\displaystyle O}$是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符${\displaystyle {\hat {O}}}$，可能有很多不同的本徵值${\displaystyle O_{i}}$與對應的本徵態${\displaystyle |e_{i}\rangle }$，這些本徵態${\displaystyle |e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n}$，形成了具有正交歸一性的基底：[1]^:96-99

${\displaystyle \langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}}$；

其中，${\displaystyle \delta _{ij}}$是克羅內克函數。

任何描述這量子系統的量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$，都可以用這基底的本徵態表示為

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle }$；

其中，${\displaystyle c_{i}=\langle e_{i}|\psi \rangle }$是複係數，是在量子態${\displaystyle |e_{i}\rangle }$裏找到量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$的機率幅。[2]^:50

假設，量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$等於這些本徵態之中的一個本徵態${\displaystyle |e_{k}\rangle }$，則對於這量子系統，測量可觀察量${\displaystyle O}$，得到的結果必定等與本徵值${\displaystyle O_{k}}$，機率為1，量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$是「確定態」。

根據統計詮釋，對應於可觀察量的量子算符可能有很多本徵值，測量結果只能是其中一個本徵值，而且，每一個本徵值出現的機會呈機率性。測量這個動作會將量子系統的量子態改變為對應於本徵值的本徵態，並且，在之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是這本徵態。[1]^:106-109

假設，某量子系統的量子態為

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle }$。

測量這個動作會將量子系統的量子態改變為算符${\displaystyle {\hat {O}}}$的一個本徵態。假設量子態改變為本徵態${\displaystyle |e_{i}\rangle }$，則改變為這本徵態的機率為${\displaystyle p_{i}=|c_{i}|^{2}}$，測量結果是本徵值${\displaystyle O_{i}}$，得到這本徵值的機率也為${\displaystyle p_{i}}$。在測量之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是本徵態${\displaystyle |e_{i}\rangle }$。

將算符${\displaystyle {\hat {O}}}$作用於量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$，會形成新量子態${\displaystyle |\phi \rangle }$：

${\displaystyle |\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}{\hat {O}}|e_{i}\rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}|e_{i}\rangle }$。

從左邊乘以量子態${\displaystyle \langle \psi |}$，經過一番運算，可以得到

${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}\langle \psi |e_{i}\rangle =\sum _{i}\ |c_{i}|^{2}O_{i}=\sum _{i}\ p_{i}O_{i}}$。

所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和就是可觀察量${\displaystyle O}$的期望值：

${\displaystyle \langle O\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ p_{i}O_{i}}$。

每一種經過測量而得到的物理量都是實數，因此，可觀察量${\displaystyle O}$的期望值是實數：

${\displaystyle \langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}}$。

對於任意量子態${\displaystyle |\psi \rangle }$，這關係都成立：

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}}$。

根據伴隨算符的定義，假設${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$是${\displaystyle {\hat {O}}}$的伴隨算符，則${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle }$。因此，

${\displaystyle {\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }}$。

這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。[1]^:96-99

位置${\displaystyle x}$，動量${\displaystyle p}$都是可觀察量，它們的算符都是厄米算符：

${\displaystyle \langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}x\psi \ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ (x\psi )^{*}\psi \ dx=\langle x\rangle ^{*}}$，

${\displaystyle \langle p\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi \right)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi \right)^{*}\psi \ dx=\langle p\rangle ^{*}}$。

在三維空間裏，角動量算符的x-分量${\displaystyle {\hat {L}}_{x}}$是厄米算符。因為

${\displaystyle \langle L_{x}\rangle ^{*}=\langle yp_{z}-zp_{y}\rangle ^{*}=\langle yp_{z}-zp_{y}\rangle =\langle L_{x}\rangle }$；

其中，${\displaystyle y}$與${\displaystyle z}$分別是位置的y-分量與z-分量，${\displaystyle p_{y}}$與${\displaystyle p_{z}}$分別是動量的y-分量與z-分量。

類似地，角動量算符的y-分量${\displaystyle {\hat {L}}_{y}}$也是厄米算符。