啁啾

• 瞬時頻率

當有一信號 ${\displaystyle x(t)=Asin(\phi (t))\,}$ 

 

其瞬時頻率 ${\displaystyle f(t)\,}$ 可表示為 ${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\phi (t)}{dt}}\,}$ 

 

頻率改變的速率則是 ${\displaystyle k(t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d^{2}\phi 2(t)}{dt^{2}}}\,}$ 

• 啁啾:

啁啾的瞬時頻率${\displaystyle f(t)\,}$呈線性變化

 

其中${\displaystyle f(t)=f_{0}+kt\,}$

 

而${\displaystyle k={\frac {f_{1}-f_{0}}{T}}}$

 

完整推導如下

假設有一個餘弦訊號

 

 ${\displaystyle x(t)=Acos(\omega _{0}(t)+\phi )\,}$ 

 

那麼可以被寫成: ${\displaystyle x(t)=Acos(\theta (t))\,}$  也就是瞬間相位的函數

 

在這邊 ${\displaystyle \theta (t)=\omega _{0}(t)+\phi }$

 

那麼，${\displaystyle \omega (t)={\frac {d}{dt}}\theta (t)}$

 

如果今天不再是線性角度，而是二次方角度時

 

${\displaystyle \theta (t)=2\pi \alpha t^{2}+2\pi f_{0}t+\phi }$

 

所以${\displaystyle \omega (t)=4\pi \alpha t+2\pi f_{0}}$

 

又因為${\displaystyle \omega (t)=2\pi f(t)}$

 

得${\displaystyle f(t)=2\alpha t+f_{0}}$

 

在上式中，可以發現頻率不再是常數，而是一個頻率隨時間變化的訊號

 

${\displaystyle k=2\alpha ={\frac {f_{1}-f_{0}}{T}}}$

 

其中 ${\displaystyle f_{0}\,}$ 表示時間等於零時的頻率，T則是改變時間， ${\displaystyle k\,}$ 表示頻率改變的速率，當 ${\displaystyle k>0\,}$ 時，頻率遞增， ${\displaystyle k<0\,}$ 則遞減。

整理以上的式子可以得到

${\displaystyle \omega (t)={\frac {d}{dt}}\theta (t)=2\pi (kt+f_{0})}$

則 ${\displaystyle \theta (t)=\int \omega (t)dt=\int 2\pi (kt+f_{0})}$

得到 ${\displaystyle \theta (t)=2\pi f(t)t+\phi _{0}}$

其中 ${\displaystyle f(t)={k \over 2}t+f_{0}}$

而信號在時域則表示為

${\displaystyle x(t)=Acos(2\pi f(t)t+\phi _{0})}$

啁啾函數

因為是實數輸入，所以其快速傅立葉轉換會是對稱於中心的

FFT 啁啾

Steven W. Smith, Ph.D."The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing",Chapter 11.页面存档备份，存于

Time-frequency and chirps, Patrick Flandrin 页面存档备份，存于

Chirp Signal – Frequency Sweeping – FFT and power spectral density页面存档备份，存于 [3]