圆周率近似值

值得注意的是，一些法律或歷史文本欲「定義π」為有理數，尤其是1897年的「印第安納州法案」，指明「直徑和圓周比例為四分之五比4（暗示「π= 3.2」）；和希伯來聖經中的一個段落，暗示「π= 3」。

在1995年，西蒙·普勞夫發現了贝利－波尔温－普劳夫公式。這公式能在16進制中計算pi的任意數位，而不用計算之前的數位。[5]

${\displaystyle \pi =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{8n+1}}-{\frac {2}{8n+4}}-{\frac {1}{8n+5}}-{\frac {1}{8n+6}}\right)\left({\frac {1}{16}}\right)^{n}\!}$

在1996年，西蒙·普勞夫發明了一個公式，能在O(n³log(n)³)的時間之內計算出pi在任意進制的第n個數位[6]。在1997年，法布里斯·贝拉發明了另一個公式，把計算所需時間縮短至O(n²)。他又發明了在2進制計算pi的公式。[7]

${\displaystyle \pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)\!}$

在1961年，丹尼爾柄和他的團隊在美國海軍研究實驗室計算了π的前100,000數位。

他和他的團隊使用了兩個不同的幂級數來計算π的數值。第一個幂級數中，任何錯誤都會造成一個比較高的數值；而另一個中，任何錯誤都會造成一個比較低的數值。所以如果兩個幂級數計算出同樣的數值，那個數值就肯定正確。美國海軍研究實驗室發放了π的前100,000數位。

但是以上的兩個幂級數也要很長的時間才能計算出結果。相反地，約翰·梅欽的公式與反正切的泰勒级数一起使用則能很快地計算結果：

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}\!}$

使用複數的極坐標系便能證實這公式，以以下的數學式開始：

${\displaystyle (5+i)^{4}\cdot (239-i)=2^{2}\cdot 13^{4}(1+i).\!}$

這類的公式被稱為梅欽類公式。(注意，{ x,y} = {239, 13²}是佩爾方程「x²-2y² = -1」的其中一個解答。)

印度數學家斯里尼瓦瑟·拉马努金發現了π的很多其他表示方式。他與戈弗雷·哈罗德·哈代一起工作了很多年。

如果要計算π小數點後很多位，計算者通常會使用高斯-勒让德算法，波尔温公式，和1976年發明的薩拉明 - 布倫特公式。

π和¹/_π的小數點後首十萬位能在古腾堡计划裡查閱(參見#外部連結)。

在2002年12月，在東京大學進修的金田康正發放了π小數點後1,241,100,000,000位的值，創造了新的世界記錄。他在2002年9月以六十四部日立的超級電腦計算出這值。這些電腦有1TB的記憶體，而且能在每秒執行2兆次運算。上一個記錄(21億位)所使用的電腦每秒只能執行1兆次運算。金田康正使用了以下公式：

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}\!}$

K. Takano (1982).

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}\!}$

F. C. W. Störmer (1896).

這些近似值由於有太多數位，所以沒有實際用途，只是用來測試超級電腦。

在1997年，大衛·貝利（David H. Bailey）、皮特·波爾溫和西蒙·普勞夫發佈了一條新的公式來計算π的值：

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).\!}$

這公式能在不知道前k - 1數位的值之下，在2進制或16進制中計算出π的第k個數位的值。貝利的網頁页面存档备份，存于包含了計算方法，而且把方法以幾個程式語言記下。PiHex計算出π小數點後一兆數位的值。

法布里斯·贝拉推出了贝利－波尔温－普劳夫公式的改良版——貝拉公式：

${\displaystyle \pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)\!}$

還有其他計算π的值的公式：

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)\!}$

牛頓

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}\!}$

斯里尼瓦瑟·拉马努金

拉馬努金的公式收歛的速度異常地快，這公式後來在2000年演變成最快的公式：

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}\!}$

David Chudnovsky和Gregory Chudnovsky.