圓周率

数学家用小写希腊字母${\displaystyle \pi }$表示圆周和其直径之比，有时也将其拼写为，這来自于希腊语“”（周长）的首字母。[6]在英语中，${\displaystyle \pi }$的发音与英文单词“pie”（/paɪ/，西式馅饼）相同。[7]在数学中，${\displaystyle \pi }$的小写字母（或者是其无衬线体）要和表示连乘积的大写形式Π相区分开。

关于為何选择符号${\displaystyle \pi }$的原因，请参见π符号的引入一节。

圆的周长略大于其直径的三倍长。 精确的比例称为${\displaystyle \pi }$。

${\displaystyle \pi }$常用定义为圆的周长${\displaystyle C}$与直径${\displaystyle d}$的比值：[4]^:8

${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}$.

无论圆的大小如何，比值${\displaystyle {\frac {C}{d}}}$为恒值。如果一个圆的直径变为原先的二倍，它的周长也将变为二倍，比值${\displaystyle {\frac {C}{d}}}$不变。当前${\displaystyle \pi }$的定义隐性地使用了欧几里得几何中的一些定理，虽然一个圆的定义可以扩展到任意曲面（即非欧几里得几何），但这些圆将不再符合定律${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}$。[4]

这里，圆的周长指其圆周的弧长，弧长这一概念可以不依赖几何学————而是使用微积分学中的极限来定义。[8]例如，若想计算笛卡儿坐标系中单位圆${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$上半部分的弧长，需要用到积分：[9]

${\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

上述积分是由卡尔·魏尔斯特拉斯于1841年对${\displaystyle \pi }$的积分定义。[10]

这些依赖于周长，且隐性地依赖积分的${\displaystyle \pi }$的定义，如今在文献中并不常见。雷默特（Remmert (1991)）解释说这是因为在现代微积分教学中，大学一般将微分学课程安排在积分学课程之前，所以不依赖于后者的${\displaystyle \pi }$的定义就很有必要了。其中一种定义，由理查·巴爾策提出，[11]由愛德蒙·蘭道推广，[12]其表述如下：${\displaystyle \pi }$是两倍于能使余弦函数等于零的最小正数。[4][9][13]余弦函数可以由独立于几何之外的幂级数[14]定义，或者使用微分方程的解来定义。[13]

在相似的启发下，${\displaystyle \pi }$可以用关于复变量${\displaystyle z}$的复指数函数${\displaystyle \exp(z)}$来定义。复指数类似余弦函数，可透過多种方式定义。令函数${\displaystyle \exp(z)}$值为一的复数集合是一个如下所示的（虚）算数过程：

${\displaystyle \{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki|k\in \mathbb {Z} \}}$,

并且其中包括一个独特的正实数${\displaystyle \pi }$。[9][15]

一个基于同样想法，但更为抽象的定义运用了精巧的拓扑学和代数学概念，用以下定理描述：[16]存在一个唯一的从加法模数整数组成的实数群 R/Z 到绝对值为1的复数组成的乘法群的连续同态（拓扑学概念，指在拓扑空间之间的一种态射）。数字${\displaystyle \pi }$被定义为此同态派生的模的一半。[17]

在给定的周长的条件下，圆会围成最大的面积，因此${\displaystyle \pi }$的表述同樣为等周不等式中出现的常数（乘四分之一）。此外，在很多其他紧密相关的方程中，${\displaystyle \pi }$作为某些几何或者物理过程的特征值出现；详见下文。

${\displaystyle \pi }$是个无理数，也就是说，${\displaystyle \pi }$无法表示成两个整数之比的形式（形如${\displaystyle {\frac {22}{7}}}$的分数常用来近似表达${\displaystyle \pi }$，但是没有任何普通分数（指整数的比）可以取到${\displaystyle \pi }$的精确值）。[4]^:5由于${\displaystyle \pi }$是无理数，故可表示为无限不循环小数。有多种方法能证明π是无理数，这些证明也都要用到微积分学和反证法。人们還無法準確得知${\displaystyle \pi }$可以用有理数来近似的程度（稱為無理性度量），不過估計其無理性度量比e或ln(2)的要大，但是小於刘维尔数的無理性度量[18]。

人们通過統計隨機性检验，包括正规数的检验，验证了${\displaystyle \pi }$的位數沒有明顯的固定模式。因此，${\displaystyle \pi }$的小数中任意固定长度的序列（例如3位數字的000,001……999）出現機率都相同[19]。不過有關π是正规数的猜想既無證明，亦無[4]^:22-23[19]。

電腦的出現使得人们可以生成大量π的不同位数，并進行統計分析。金田康正針對π的十進制數字進行了詳細的統計分析，并验证了其分布的正规性：例如，將出現0到9十個數字的頻率進行假設檢定，找不到有特定重复规律的證據[4]^{:22, 28–30}。根據無限猴子定理，任何任意長度，由隨機內容組成的子序列都有可能看起來像不隨機产生的。因此，就算π的小数序列通過了隨機性統計測試，其中也可能有幾位的數字看起來似有规律可循而非隨機数，例如π的十進制写法中，自第762位小數后开始出现了連續六個的9[4]^:3。

由于π是超越數，不能利用尺规作图化圓為方。

${\displaystyle \pi }$不仅是个无理数，还是一个超越数，即${\displaystyle \pi }$不是任何一个有理数系数多项式的根。（比方说，试图通过解有限项方程${\displaystyle {\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0}$，来求得${\displaystyle \pi }$的值。）[20][註 1]

${\displaystyle \pi }$的超越性衍生出了一些重要的结果：${\displaystyle \pi }$不能通过有理数经有限次四则运算和开平方运算来获得，因此${\displaystyle \pi }$不是规矩数。换言之，利用尺规作图作不出长度为${\displaystyle \pi }$的线段，也就不可能用尺规方法做出一个与已知圆面积相等的正方形。后者即为有名的化圓為方问题，该问题早在古典时代即已提出，曾困扰人们数千年之久[21][22]。直至今天，依然有民间数学爱好者声称他们解决了这一问题[23]。

像所有的无理数一样，${\displaystyle \pi }$无法表示成一个分数。但是每一个无理数，包括${\displaystyle \pi }$，都能表示成一系列叫做连分数的连续分数形式：

${\displaystyle \pi =3+\textstyle {\frac {1}{7+\textstyle {\frac {1}{15+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{292+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$

在这个连分数的任意一点截断化简，都能得到一个π的近似值；前四个近似值是：3，${\displaystyle {\frac {22}{7}}}$，${\displaystyle {\frac {333}{106}}}$，${\displaystyle {\frac {355}{113}}}$。这些数在历史上是${\displaystyle \pi }$最广为人知且广為使用的几个近似值。用以上方式得出的${\displaystyle \pi }$的近似值要比任何有相同或更小的整数分母的其他整数分数近似值更接近π。[24]由于${\displaystyle \pi }$是一个超越数，据超越数定义来说它不是代數數，又因此不可能是一个二次無理數；是故${\displaystyle \pi }$不能表示为循环连分数。尽管${\displaystyle \pi }$的简单连分数没有表现出任何其他明显规律，[25]数学家们發現了数个广义连分数能表示${\displaystyle \pi }$，例如：[26]

${\displaystyle \pi =\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+\textstyle {\frac {1^{2}}{6+\textstyle {\frac {3^{2}}{6+\textstyle {\frac {5^{2}}{6+\textstyle {\frac {7^{2}}{6+\textstyle {\frac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}$

圆周率近似值包括：

• 整数：3
• 分数（依准确度顺序排列）：22/7、333/106、355/113、52163/16604、103993/33102、245850922/78256779[24]（选自 A063674 及 A063673。）
• 小數（整数后首80个位）：3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899...[4]^:240（另见 A000796）

其他进位制中的近似值

• 二进制（整数后首48个位）：11.001001000011111101101010100010001000010110100011...
• 十六进制（整数后首20个位）：3.243F6A8885A308D31319...[4]^:242
• 六十进制（整数后首5个位）：3;8,29,44,0,47[27]

欧拉公式给出了e的复指数与复平面上以原點为圆心的单位圆上的点之间的关系。

任何复数（以${\displaystyle z}$为例）都可以表示为一组实数对：在极坐标系中，一个实数${\displaystyle r}$用来表示半径，代表复平面上复数${\displaystyle z}$离原點的距离；另一个实数${\displaystyle \varphi }$则用来表示夹角，即这条半径（复平面上复数${\displaystyle z}$与原点的连线）与正实轴经顺时针转动的夹角。这样一来，${\displaystyle z}$就可写成[28]

${\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )}$，这里${\displaystyle i}$代表一个虛數單位，即${\displaystyle i^{2}=-1}$。

在复分析中，欧拉公式将三角函数与复指数函数糅合在一起[29]：

${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }$，这里数学常数e是自然對數的底数。

欧拉公式确立了${\displaystyle e}$的复指数与复平面上以原点为圆心的单位圆上的点之间的关系，而且当${\displaystyle \varphi =\pi }$时，欧拉公式就能改写为歐拉恆等式的形式：

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$。此等式亦稱“最奇妙的数学公式”(英語：)，全因为它将五个最基本的数学常数简洁地联系起来[29][30]。

欧拉等式亦可用于求出方程${\displaystyle z^{n}=1}$的${\displaystyle n}$个不同的复数根（这些根叫做${\displaystyle ^{n}n}$次单位根”[31]），可以根据以下公式求得：

${\displaystyle e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).}$

震盪弦的泛音是二次微分的本徵函數，會形成泛音列。對應的本徵值會形成由π整數倍組成的等差数列

${\displaystyle \pi }$经常出现在和几何相关的问题之中。然而，在不少和几何无关的问题中也可以看到${\displaystyle \pi }$的身影。

${\displaystyle \pi }$在許多的應用中都會以特征值的形式出現。例如理想的振動弦問題可以建模為函數${\displaystyle f}$在單位區間${\displaystyle [0,1]}$的圖形，固定邊界值为${\displaystyle f(0)=f(1)=0}$。弦振動的模態會是微分方程的${\displaystyle f^{n}(x)+\lambda ^{2}f(x)=0}$，此處λ是相關的特徵值。受施图姆-刘维尔理论限制，${\displaystyle \lambda }$只能是一些特定的數值。而${\displaystyle \lambda =\pi }$即為一個特征值，因為函數${\displaystyle f(x)=\sin(\pi x)}$滿足邊界條件及微分方程${\displaystyle \lambda =\pi }$[32]。

依照第一代开尔文男爵威廉·汤姆森所述的一個傳說，古迦太基城的外形是等周長問題的一個解（Thompson 1894）。這些包圍著海的區域是迦太基女王狄多所圍的，城不靠海的邊界需要用一塊指定大小的牛皮圍住，後來是將牛皮剪成小段

${\displaystyle \pi }$是上述方程中最小的特征值，也和弦振動的基本模式有關。一個讓弦振動的方式是提供弦能量，能量會滿足一個不等式，維爾丁格函數不等式[33]，其中提到若函數${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {C} }$使得${\displaystyle f(0)=f(1)=0}$，且${\displaystyle f}$和${\displaystyle f'}$都是平方可積函數，則以下的不等式成立：

${\displaystyle \pi ^{2}\int _{0}^{1}|f(x)|^{2}\,dx\leq \int _{0}^{1}|f'(x)|^{2}\,dx,}$

此例中等號成立的條件恰好是${\displaystyle f}$為${\displaystyle \sin(\pi x)}$倍數的時候。因此${\displaystyle \pi }$似乎是維爾丁格不等式的最佳常數，因此也是最小的特征值（根據雷利商數的計算方式）

${\displaystyle \pi }$在更高維度的分析中也有類似的角色，出現在其他類似問題的特徵值中。就如以上所述，${\displaystyle \pi }$的一個特點是等周定理中的最佳常數：周長為${\displaystyle P}$的平面若尔当曲线，所圍面積${\displaystyle A}$滿足以下的不等式

${\displaystyle 4\pi A\leq P^{2},}$

等號成立的條件是曲线為一圓形，因為${\displaystyle A=\pi r^{2}}$及${\displaystyle P=2\pi r}$.[34]。

圓周率${\displaystyle \pi }$也和庞加莱不等式的最佳常數有關[35]，${\displaystyle \pi }$是一維及二維的狄氏能量特征向量最佳值中，最小的一個，因此${\displaystyle \pi }$會出現在許多經典的物理現象中，例如經典的位势论[36][37][38]。其一維的情形即為Wirtinger不等式 。

圓周率π也是傅里叶变换的一個重要常數，傅里叶变换屬於积分变换，將一個在實數線上的一個有複數值，可積分的函數，轉換為以下的型式：

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx.}$

傅里叶变换有幾種不同的寫法，但不論怎麼寫，傅里叶变换及反傅里叶变换中，一定會有某處出現${\displaystyle \pi }$。不過上述的定義是最經典的，因為其描述了L²空間中唯一的幺正算符，也是${\displaystyle L^{1}}$空間到${\displaystyle L^{\infty }}$空間的代數同態[39]。

不确定性原理中也有出現${\displaystyle \pi }$這個數字。不确定性原理提出了可以將一個函數在空間及在頻域中局部化程度的下限，利用傅立葉轉換的方式表示：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\ \int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \geq \left({\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx\right)^{2}.}$

物理的結果，有關量子力学中同時觀測位置及動量的不確定性，見下文。傅立葉分析中π的出現是史東–馮紐曼定理的結果，證實了海森伯群的薛定諤表示的唯一性[40]。

高斯函数${\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}$的图像，函数下方与X轴围成的阴影部分面积为${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$。

高斯积分是对高斯函数${\displaystyle e^{-x^{2}}}$在整条实轴上的积分，即函数下方与X轴围成的面积，其结果为${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$，

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$

此积分的计算可以先计算${\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}$对整条实轴的积分的平方，通过转换笛卡尔坐标系为极坐标系从而求得

${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\iint _{\mathbf {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dxdy=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d\theta =\pi }$

其他计算方法可参阅高斯积分。高斯函数更一般的形式为${\displaystyle f(x)=a\exp {\frac {-(x-b)^{2}}{2c^{2}}}}$，求一般形式的高斯积分均可通过换元积分法转化为求${\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}$的积分。

另外，当高斯函数为以下形式时，它则是平均数为${\displaystyle \mu }$和標準差为${\displaystyle \sigma }$的正态分布的機率密度函數[41]：

${\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,\exp {\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

因为这个函数是一个概率密度函数，函数下方与X轴围成的面积必须为1，令${\displaystyle \mu =0}$和${\displaystyle \sigma =1}$即可变换得出${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$。概率论与统计学领域经常使用正态分布来作为复杂现象的简单模型：例如科学家通常假设大多数试验观测值的随机误差都是服从正态分布[42]。

由一维布朗运动的反正弦定律，可以通过试验正信号相对于负信号领先权过零点的分布反过来推算π

概率论与统计学中的中心极限定理解释了正态分布以及${\displaystyle \pi }$的核心作用，这个定理本质上是联系着${\displaystyle \pi }$的谱特征与海森堡不确定性原理相关的特征值，并且在不确定性原理中有

${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2}$，

这里的${\displaystyle \sigma _{x}}$與${\displaystyle \sigma _{p}}$分別為位置與動量的標準差，${\displaystyle \hbar }$是約化普朗克常数，而不等式的等号当且仅当粒子的波函数为高斯函数使成立[43]。

同样地，${\displaystyle \pi }$作为唯一独特的常数使得高斯函数等于其自身的傅里叶变换，此时的高斯函数形式为${\displaystyle f(x)=e^{-\pi x^{2}}}$[44]。根据豪（）的说法，建立傅里叶分析基本定理的“全部工作（whole business）”简化为高斯积分。

圓周率在远古时期（公元前一千纪）已估算至前两位（“3”和“1”）。有些埃及學家聲稱，遠至古王國時期時期的古埃及人已經用${\displaystyle {\frac {22}{7}}}$作為圓周率的約數[45][註 2]，但這個說法受到了質疑。[47][48][49][50]

最早有記載的对圓周率估值在古埃及和巴比伦出现，兩個估值都与圆周率的正确数值相差不到百分之一。巴比伦曾出土一塊公元前1900至1600年的泥板，泥板上的幾何學陳述暗示了人们当时把圓周率視同${\displaystyle {\frac {25}{8}}}$（等於3.125）。[4]^:167埃及的莱因德数学纸草书（鉴定撰寫年份為公元前1650年，但抄自一份公元前1850年的文本）載有用作計算圓面積的公式，该公式中圓周率等于${\displaystyle ({\frac {16}{9}})^{2}}$（約等於3.1605）。[4]^:167

公元前4世紀的《百道梵書》中的天文學運算把${\displaystyle {\frac {339}{108}}}$（約等於3.139，精确到99.91%）用作圓周率估值[51]。公元前150年前的其他印度文獻把圓周率視為${\displaystyle {\sqrt {10}}}$（約等於3.1622）[4]^:169。

π可以透過計算圓的外切多邊形及內接多邊形周長來估算

第一個有紀錄、嚴謹計算π數值的演算法是透過正多邊形的幾何算法，是在西元前250年由希臘數學家阿基米德所發明。[4]^:170這個算法使用了有一千年之久，因而有時π亦稱阿基米德常數。[4]^:175、205阿基米德的算法是在計算圓的外切正六邊形及內接正六邊形的邊長，以此計算${\displaystyle \pi }$的上限及下限，之後再將六邊形變成十二邊形，繼續計算邊長……，一直計算到正96邊形為止。他根據多邊形的邊長證明${\displaystyle {\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7}}}$（也就是${\displaystyle 3.1408<\pi <3.1429}$）[52]。阿基米德得到的上限${\displaystyle {\frac {22}{7}}}$也造成一個常見誤解，認為${\displaystyle \pi }$就等於${\displaystyle {\frac {22}{7}}}$[4]^:171。在公元前150年，希臘羅馬的科學家克劳狄乌斯·托勒密在《天文学大成》一書中提到π的數值是3.1416，可能來自阿基米德，也可能來自阿波罗尼奥斯。[4]^:176[53]數學家在1630年利用多邊形的方式計算π到第39位小數，一直到1699年，其他數學家才利用無窮級數的方式打破其紀錄，計算到第71位小數[54]。

阿基米德發展了用多邊形近似π的計算方式

中国历史上，${\displaystyle \pi }$的數值有3[55]、3.1547（公元前一世紀）、${\displaystyle {\sqrt {10}}}$（公元前100年，數值約3.1623）及${\displaystyle {\frac {142}{45}}}$（第三世紀，數值約3.1556）[4]^:176–177。大約在公元265年，曹魏的數學家刘徽創立了割圆术，用3,072邊的正多邊形計算出π的數值為3.1416。[56][4]^:177刘徽後來又發明了一個較快的算法，利用邊數差兩倍的正多邊形，其面積的差值會形成等比數列，其公比為${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$的原理，配合96邊形算出${\displaystyle \pi }$的數值為3.14。[56]祖冲之在公元480年利用割圆术計算12,288形的邊長，得到${\displaystyle \pi \approx {\frac {355}{113}}}$（現在稱為密率），其數值為3.141592920，小数点后的前六位數都是正確值。在之後的八百年內，這都是準確度最高的π估計值。[4]^:178為紀念祖沖之對圓周率發展的貢獻，日本數學家三上義夫將這一推算值命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”。[57]

印度天文學家阿耶波多在公元499年的著作《阿里亞哈塔曆書》中使用了3.1416的數值。[4]^:179斐波那契在大約1220年利用獨立於阿基米德多邊形法，計算出3.1418[4]^:180。義大利作家但丁·阿利吉耶里用的數值則是${\displaystyle 3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}\approx 3.14142}$。[4]^:180

波斯天文學家卡西在1424年利用3×2²⁸邊的多邊形，計算到六十進制的第9位小數，相當十進制的第16位小數。[58][59]這一突破成為當時的紀錄，延續了約180年。[60]法國數學家弗朗索瓦·韦达在1579年用3×2¹⁷邊形計算到第9位小數[60]，佛蘭芒數學家阿德里安·范·羅門在1593年計算到第15位小數[60]。荷蘭數學家鲁道夫·范·科伊伦在1596年計算到第20位小數，他之後又計算到第35位小數（因此在二十世紀初之前，圓周率在德國會稱為鲁道夫數）。[4]^:182–183荷蘭科學家威理博·司乃耳在1621年計算到第34位小數[4]^:183，而奧地利天文學家克里斯托夫·格林伯格在1630年用10⁴⁰邊形計算到第38位小數[61]，至今這仍是利用多邊形算法可以達到最準確的結果[4]^:183。

比較幾個曾用來計算π的無窮級數的收斂情形。S_n是只取前n項的近似值。每一個圖都是對應前一張圖的陰影部份，然後橫軸放大10倍。（點擊後可以察看細節）

16世紀及17世紀時，${\displaystyle \pi }$的計算開始改用無窮级数的計算方式。無窮级数是一組無窮數列的和[4]^:185–191。無窮级数讓數學家可以計算出比阿基米德以及其他用幾何方式計算的數學家更準確的結果。[4]^:185–191雖然詹姆斯·格雷果里及戈特弗里德·莱布尼茨等歐洲數學家利用無窮數列計算π而使得该方法为大家所知，但这种方法最早是由印度科學家在大約1400到1500年之間發現的。[4]^:185-186[62]第一個记载的用無窮级数計算π的人是约公元1500年左右时，印度天文學家尼拉卡莎·薩默亞士在他的著作《系統匯編》中用梵語詩所記錄。[63]當時沒有這個數列對應的證明，而證明出現在另一本較晚的印度作品《基本原理》，年代約在公元1530年。尼拉卡莎將該數列歸功於更早期的印度數學家桑加馬格拉馬的馬德哈瓦（ 1350 –  1425）。[63]有許多相關的無窮级数，包括有關${\displaystyle \sin }$、${\displaystyle \tan }$及${\displaystyle \cos }$的，現在稱為馬德哈瓦數列或π的莱布尼茨公式[63]。瑪達瓦在1400年用無窮级数計算π到第11位小數，但在1430年一位波斯數學家卡西利用多邊形算法否定了他算的的結果[64]。

艾萨克·牛顿利用無窮级数計算π到第15位，後來寫道：「我很羞愧的告訴你我為了這個計算用了多少個數字。」[65]

歐洲第一個發現的無窮項圓周率公式是無窮乘積（和一般用來計算π的無窮級數不同），由法國科學家弗朗索瓦·韦达在1593年發現[4]^:187[66]：

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$

約翰·沃利斯在1655年發現了沃利斯乘积，是歐洲第二個發現的無窮項圓周率公式[4]^:187：

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots }$

微积分学是由英國科學家艾萨克·牛顿及德國數學家戈特弗里德·莱布尼茨在1660年代發明，因此也出現許多計算π的無窮級數。牛頓自己就利用反正弦（${\displaystyle \arcsin }$）數列在1655年或1666年將π近似到第15位小數，後來寫到「我很羞愧的告訴你我為了這個計算用了多少個數字，我當時沒有做其他的事。」[65]

蘇格蘭數學家詹姆斯·格雷果里在1671年發現了馬德哈瓦公式，莱布尼茨也在1674年發現：[4]^:188–189[67]

${\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots }$

這個公式即為格雷果里-莱布尼茨公式，在${\displaystyle z=1}$時數值為${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$。[67]1699年時英國數學家亚伯拉罕·夏普用格雷果里-莱布尼茨公式，在${\displaystyle z={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$時計算，計算到了${\displaystyle \pi }$的第71位小數，打破由多邊形算法得到的第39位小數的记录。[4]^:189格雷果里-莱布尼茨公式在${\displaystyle z=1}$時非常簡單，但收斂到最終值的速度非常慢，因此現在不再会用此公式來計算${\displaystyle \pi }$。[4]^:156

約翰·梅欽在1706年利用格雷果里-莱布尼茨級數產生了一個可以快速收斂的公式：[4]^:192–193

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

梅欽用這個公式計算到${\displaystyle \pi }$的第100位小數[4]^:72–74後來其他數學家也發展了一些類似公式，現在稱為梅欽類公式，創下了許多計算${\displaystyle \pi }$位數的記錄。[4]^:72–74在進入電腦時代時，梅欽類公式仍然是个耳熟能详的可以計算${\displaystyle \pi }$的公式，而且在约250年的时间里，很多有關${\displaystyle \pi }$位數的記錄都是梅欽類公式所得，比如在1946年時由達尼爾·弗格森（）用這類公式計算到第620位小數，是在沒有計算設備輔助下的最佳紀錄。[4]^{:192–196, 205}

1844年，計算天才扎卡里亞斯·達斯在德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯的要求下以梅欽類公式心算了${\displaystyle \pi }$的200個小數位，並創下紀錄。[4]^:194-196英國數學家威廉·謝克斯花了15年的時間計算π到小數707位，不過中間在第528位小數時出錯，因此後面的小數也都不正確。[4]^:194–196

有些π的無窮級數收斂的比其他級數要快，數學家一般會選用收斂速度較快的級數，可以在較少的計算量下計算${\displaystyle \pi }$，且達到需要的準確度[68][4]^{:15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202}。以下是π的莱布尼茨公式：[4]^:69–72

${\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots }$

隨著一項一項的值加入總和中，只要項次夠多，總和最後會慢慢接近${\displaystyle \pi }$。不過此數列的收斂速度很慢，要到500,000項之後，才會精確到${\displaystyle \pi }$的第五小數[69]。

尼拉卡莎在15世紀發展了另一個${\displaystyle \pi }$的無窮級數，其收斂速度較格雷果里-萊布尼茨公式要快很多，該級數為：[70]

${\displaystyle \pi =3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots }$

以下比較二個級數的收斂速率：

${\displaystyle \pi }$的無窮級數	第1項	前2項	前3項	前4項	前5項	收斂到：
${\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}\cdots .}$	4.0000	2.6666...	3.4666...	2.8952...	3.3396...	π = 3.1415...
${\displaystyle \pi ={3}+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}\cdots .}$	3.0000	3.1666...	3.1333...	3.1452...	3.1396...

計算前5項後，格雷果里-萊布尼茨級數的和跟${\displaystyle \pi }$的誤差為0.2，而尼拉卡莎級數和的誤差為0.002。尼拉卡莎級數收斂的快很多，因此也比較適合用來計算${\displaystyle \pi }$的數值。收斂更快的級數有梅欽類公式及楚德诺夫斯基算法，後者每計算一項就可以得到14位正確的小數值數[68]。

并非所有和${\displaystyle \pi }$有关的研究都旨在提高计算它的准确性。1735年，欧拉解决了巴塞尔问题，因而建立了所有平方数倒数和与${\displaystyle \pi }$的关系。之后欧拉发现了欧拉乘积公式，得到了${\displaystyle \pi }$、素数的重要關聯，對日後黎曼ζ函數的研究影響深遠。[71]

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }$

1761年，瑞士数学家约翰·海因里希·朗伯利用正切函数的无穷连分数表达式证明了${\displaystyle \pi }$是無理數。[4]^:5[72]1794年，法国数学家阿德里安-马里·勒让德证明了${\displaystyle \pi ^{2}}$也是无理数。1882年，德国数学家费迪南德·冯·林德曼证明了对任何非零代数数${\displaystyle \alpha }$，${\displaystyle e^{\alpha }}$都是超越数，该结论后来由魏尔斯特拉斯推广为林德曼-魏尔斯特拉斯定理。据此定理和欧拉公式，${\displaystyle \pi }$只能是超越數，進而证实了勒让德和欧拉提出的${\displaystyle \pi }$超越性猜想。[4]^:196[73]哈代在其著作《数论导引》中则称此证明在提出後，經過希尔伯特、施瓦兹和其他一些人化简过。[74]

萊昂哈德·歐拉在他在1736年到1748年的作品中開始使用希臘字母π表示圓周率，因此也開始廣為數學界使用

在用π专指“圆周率”之前，希腊字母即已用於幾何概念中[4]^:166。威廉·奥特雷德在1647年起在《數學之鑰》（Clavis Mathematicae）就已經用${\displaystyle \pi }$及${\displaystyle \delta }$（對應p和d的希臘字母）來表示圓的周長及直徑的比例。

威廉·琼斯在他1706年出版的《新數學導論》（）中提到了${\displaystyle \pi }$，是目前已知最早专门用希臘字母${\displaystyle \pi }$表示圓周和其直徑比例的人[75]。這個希臘字母的第一次出现，是在书中討論一個半徑為1的圓時，提到「其圓周長的一半（${\displaystyle \pi }$）」。琼斯選用了${\displaystyle \pi }$的原因可能是因為它是希臘文中“周边”一词“”的第一個字[76]。不過琼斯提到，他的那些有關${\displaystyle \pi }$的算式是出自「真正聰明的約翰·梅欽先生」，因此人们推測在瓊斯之前，約翰·梅欽就已经开始使用此希臘字母表示圓周率[4]^:166。

瓊斯是在1706年開始使用此希臘字母，但直到萊昂哈德·歐拉在其1736年出版的《力學》中開始使用之后，其他的数学家们才纷纷开始用${\displaystyle \pi }$来指代圆周率。在此之前，數字家可能用像c或p之類的字母代表圓周率[4]^:166。因為歐拉與歐洲其他數學家之间时常互相写信来往，${\displaystyle \pi }$的用法迅速傳播开来[4]^:166。1748年歐拉在他的《无穷小分析引论》再一次提到了${\displaystyle \pi }$，写道：「為了簡潔起見，我們將此數字寫為${\displaystyle \pi }$，${\displaystyle \pi }$等於半徑為1的圓周長的一半。」这个表示方式之後也推展到整個西方世界[4]^:166。

约翰·冯·诺伊曼所在的團隊是第一個用數位計算機ENIAC來計算π的

二十世紀中期计算机技术的发展、革新再次引发了計算π位數的熱潮。美國數學家约翰·伦奇及李維·史密斯在1949年利用桌上型計算機計算到1,120位[4]^:205。同年，喬治·韋斯納（George Reitwiesner）及约翰·冯·诺伊曼帶領的團隊利用反三角函数（arctan）的無窮級數，通过ENIAC計算到了小數第2,037位，花了70小時的電腦工作時間[77]。這一紀錄後來多次由其他透過arctan級數计算出的結果打破（1957年到7480位小數，1958年到第一萬位數，1961年到第十萬位小數），直到1973年，人们计算出了小数点后的第一百萬位小數[4]^:197。

1980年代的两项發明加速了${\displaystyle \pi }$的計算。第一项是人们發现了新的的迭代法去计算π的值，其計算速度比無窮級數會要快很多。另一项是人们發现了可以快速計算大數字乘積的乘法演算法[4]^:15–17。這類演算法在現代π的計算上格外的重要，因為電腦大部分的工作時間都是在計算乘法[4]^:131。這類演算法包括Karatsuba算法、Toom–Cook乘法及以傅里叶变换為基礎的乘法演算法（傅里叶乘法）[4]^{:132, 140}。

迭代演算法最早是在1975年至1976年间分别由美國物理學家尤金·薩拉明及奧地利科學家理查·布蘭特独立提出[4]^:87。這两个演算法没有依赖無窮級數來計算。迭代會重覆一個特定的計算，将前一次的計算結果作为這一次的輸入值，使得計算結果漸漸的趨近理想值。此方式的原始版本其實是在160年前由卡爾·弗里德里希·高斯提出，現在稱為算术-几何平均数算法（AGM法）或高斯-勒让德算法[4]^:87。因為薩拉明及布蘭特都曾对此進行修改，因此这个算法也稱為薩拉明-布蘭特演算法。

迭代演算法因為收斂速度比無窮級數快很多，在1980年代以後廣為使用。無窮級數隨著項次的增加，一般來說正確的位數也會增加幾位，但迭代演算法每多一次計算，正確的位數會呈几何级数增长。例如薩拉明-布蘭特演算法每多一次計算，正確位數會是之前的二倍。1984年加拿大人喬納森·波温及彼得·波温提出一個迭代演算法，每多一次計算，正確位數會是之前的四倍，1987年時有另一個迭代演算法，每多一次計算，正確位數會是之前的五倍[78]。日本數學家金田康正使用的演算法在1955年及2002年之間創下了若干个紀錄[79]。不過迭代演算法的快速收斂也有其代價，因为这个算法需要的内存的大小明顯的要比無窮級數要多[79]。

當數學家發現新的算法、電腦變得普及时，π的已知小數位急剧增加。注意垂直坐标使用了对数坐标。

一般而言，${\displaystyle \pi }$值并不需要过于精确便能够满足大部分的数学运算的需求。按照約爾格·阿恩特（Jörg Arndt）及克里斯托夫·黑內爾（）的计算，39個數位已足夠運算絕大多數的宇宙学的计算需求，因為這個精確度已能夠将可觀測宇宙圆周的精确度準確至一個原子大小[80]。 尽管如此，人們仍然是奋力地運算出${\displaystyle \pi }$小数点后的上千甚至上百萬個數位[4]^:17–19。這一部分是出于人類對打破記錄的冲动，因为那些和${\displaystyle \pi }$有關的成就往往成為世界各地的新聞頭條[81][82]。此外，这其中也有一些實際的好處，例如測試超级计算机、測試数值分析算法等（包括高精度乘法算法）。在純粹數學的领域中，计算${\displaystyle \pi }$的位数也能让人们来评定π的隨機性[4]^:18。

斯里尼瓦瑟·拉马努金的肖像，他在印度独立工作时提出了许多新颖的计算${\displaystyle \pi }$的数列。

现代计算${\displaystyle \pi }$的程序不仅仅局限于迭代算法。20世纪80与90年代，人们发现了一些可用来计算${\displaystyle \pi }$的新无穷级数，其收敛速度可与迭代算法媲美，而又有着复杂度、内存密集度更低的优势。[79]印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金是这方面的先驱，他在1914年发表了许多与${\displaystyle \pi }$相关的公式，这些公式十分新颖，极为优雅而又颇具数学深度，收敛速度也非常快。[4]^:103–104下式即为一例，其中用到了模方程：

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}(396^{4k})}}.}$

这个无穷级数收敛速度远快于绝大多数反正切数列，包括梅钦公式。[4]^:104第一位使用拉马努金公式计算${\displaystyle \pi }$并取得进展的是比尔·高斯珀，他在1985年算得了小数点后一千七百万位。[4]^{:104, 206}拉马努金公式开创了现代数值近似算法的先河，此后波尔文兄弟和楚德诺夫斯基兄弟进一步发展了这类算法。[4]^:110–111后者于1987年提出了楚德诺夫斯基公式，如下所示：

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}.}$

此公式每计算一项就能得到${\displaystyle \pi }$的约14位数值[83]，因而用於突破圆周率的数位的计算。利用这个公式，楚德诺夫斯基兄弟于1989年算得${\displaystyle \pi }$小数点后10亿（10⁹）位，法布里斯·贝拉于2009年算得2.7千亿（2.7×10¹²）位，亚历山大·易和近藤滋在2011年算得一万亿（10¹³）位。[4]^{:110–111, 206}[84][85]类似的公式还有拉马努金-佐藤级数。

2006年，加拿大数学家西蒙·普勞夫利用PSLQ整数关系算法[86]按照以下模版生成了几个计算${\displaystyle \pi }$的新公式：

${\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right),}$

其中${\displaystyle q}$为e^{${\displaystyle \pi }$}，${\displaystyle k}$是一个奇数，${\displaystyle a,b,c}$是普勞夫计算出的有理常数。[87]

布豐投針問題，多枚长度为ℓ的针随机地抛掷向平面。

随机地往内切四分之一圆的正方形内抛掷大量的点。

蒙特卡洛方法基于随机试验结果计算${\displaystyle \pi }$的近似值

蒙特卡洛方法是以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法，通过进行大量重复试验计算事件发生的频率，按照大数定律（即当试验次数充分大时，频率充分地接近于概率）可以求得${\displaystyle \pi }$的近似值[88]。 布豐投針問題就是其中一个应用的例子：当一枚长度为${\displaystyle l}$的针随机地往一个画满间距为${\displaystyle t\left(l\leq t\right)}$的平行线的平面上抛掷${\displaystyle n}$次， 如果针与平行直线相交了${\displaystyle m}$次，那么当${\displaystyle n}$充分大时就可根据以下公式算出${\displaystyle \pi }$的近似值[89]：

${\displaystyle \pi \approx {\frac {2n\ell }{mt}}}$

另一个利用蒙特卡罗方法计算${\displaystyle \pi }$值的例子是随机地往内切四分之一圆的正方形内抛掷大量的点，落在四分之一圆内的点的数量与抛掷点的总量的比值会近似等于${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$.[4]^:39–40[90]

此外，还可以通过进行随机游走试验，并利用蒙特卡罗方法计算${\displaystyle \pi }$值，如抛掷一枚均匀的硬币${\displaystyle N}$次，并记录正面朝上的次数，所得结果中，正面朝上的次数${\displaystyle n_{N}}$服从二項分佈且

${\displaystyle \Pr(n_{N}=m)={\binom {N}{m}}({\frac {1}{2}})^{m}({\frac {1}{2}})^{N-m}}$

因为硬币均匀，所以N次试验中每次试验结果相互独立。由此可定义一系列独立的随机变量${\displaystyle X_{k}\left(k=1,2,\ldots \right)}$，当抛掷结果为正面时${\displaystyle X_{k}=1}$否则为-1，且${\displaystyle X_{k}=\pm 1}$且取何值具有相同的概率（即，正面朝上和背面朝上的概率相同）。对随机变量${\displaystyle X_{k}\left(k=1,2,\ldots ,N\right)}$求和可得

${\displaystyle W_{N}=\sum _{k=1}^{N}X_{k}}$

设k为“硬币正面朝上的次数”减去“硬币反面朝上的次数”，即可得到${\displaystyle m-\left(N-m\right)=k}$。对式子进行变换，得${\displaystyle m={\frac {N+k}{2}}}$，因此

${\displaystyle \Pr(W_{N}=k)={\binom {N}{\frac {N+k}{2}}}{\frac {1}{2^{N}}}}$，其中${\displaystyle k=-N,-N+2,-N+4,\ldots ,N-2,N}$。

可以证明[91]，

${\displaystyle E(W_{N})=0}$，${\displaystyle E(W_{N}^{2})=N}$，以及${\displaystyle E(|W_{N}|)={\binom {N}{\left\lceil {N/2}\right\rceil {\frac {\left\lceil {N/2}\right\rceil }{2^{N-1}}}}}={\begin{cases}{\frac {(N-1)!!}{(N-2)!!}}&{\mbox{For }}N{\mbox{ even}}\\{\frac {N!!}{(N-1)!!}}&{\mbox{For }}N{\mbox{ odd}}\end{cases}}}$

并且当${\displaystyle N}$变大时，${\displaystyle E\left(\left\vert W_{N}\right\vert \right)}$的值会渐近于${\displaystyle {\sqrt {\frac {2N}{\pi }}}}$，因此当${\displaystyle N}$充分大时可根据以下公式算出${\displaystyle \pi }$的近似值：[92]

${\displaystyle \pi \approx {\frac {2N}{|W_{N}|^{2}}}}$

和其他计算${\displaystyle \pi }$值的方法相比，蒙特卡洛方法收敛速度很慢，而且无论进行多少次实验，都无从得知${\displaystyle \pi }$的估值已经精确到了第几位。因此，当追求速度或精度时，蒙特卡洛方法不适合用来估计${\displaystyle \pi }$。[4]^:43[93]

1995年引入的兩個算法开辟了研究${\displaystyle \pi }$的新途径。因为每计算出一位数字，該數就会像流过阀门的水一样不会再出现在后续的计算过程中，这种新進算法叫做阀门算法。[4]^:77–84[94]这就与无穷级数及迭代算法形成对比——无穷级数和迭代算法自始至终的每一步计算都会涉及到之前所有步骤计算出的中间值。[4]^:77–84

1995年，美國數學家斯坦·瓦格纳和斯坦利·拉比諾維茨（）发明了一种簡單的阀门算法[94][4]^:77[95]，其運算速度類似arctan演算法，但速度比迭代算法要慢[4]^:77。

贝利-波尔温-普劳夫公式（BBP）是另一個阀门算法，屬於一种位數萃取演算法。1995年，西蒙·普勞夫等人發現[4]^{:117, 126–128}[96]

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)}$

這個公式和其他的公式不同，可以在十六进制下計算${\displaystyle \pi }$的任意位數小數，而不用計算所有前面的小數位數[4]^{:117, 126–128}。一个十六进制下的数位可计算得到特定一个二进制的数位；想要得到一个八进制数位的话，计算一、两个十六进制小數即可。目前也已發現一些這種演算法的變體，不過人们還沒有发现針對十進制、可以快速產生特定位數小數數字的位數萃取演算法[97]。位數萃取演算法的一個重要用途是用來確認聲稱是計算到${\displaystyle \pi }$小數位數的新記錄：若有聲稱是新紀錄的計算結果出現，先將十進制的數值轉換到十六進制，再用贝利-波尔温-普劳夫公式，去確認最後的一些位數（用亂數決定），若這些位數都對，人们就能有一定把握认为此計算結果是对的[85]。

在1998年到2000年之間，分布式计算計畫PiHex利用貝拉公式（贝利-波尔温-普劳夫公式的一種變體）計算${\displaystyle \pi }$的第10¹⁵個位元，結果是0[4]^:20[98]。在2010年9月，一名雅虎員工利用公司的Apache Hadoop應用程式在上千台電腦上計算${\displaystyle \pi }$在2×10¹⁵個数位开始，往后数的256個位元，其第2×10¹⁵個位元剛好也是0[99]。

圆的面积等于${\displaystyle \pi }$乘以阴影部分面积。

${\displaystyle \pi }$出现在基于圆的几何图形（如椭圆、球、圆锥与环面）的面积、体积公式中。下面是一些涉及到${\displaystyle \pi }$的较常见公式：[100]

• 半径为${\displaystyle r}$的圆周长为${\displaystyle 2\pi r}$。
• 半径为${\displaystyle r}$的圆的面积为${\displaystyle \pi r^{2}}$。
• 半径为${\displaystyle r}$的球的体积为${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$。
• 半径为${\displaystyle r}$的球面的面积为${\displaystyle 4\pi r^{2}}$。

上述公式是n 维球的体积与其边界（(n−1) 维球的球面）的表面积的特殊情况，具体将在后文给出解释。

描述由圆产生的图形的周长、面积或体积的定积分通常会涉及到${\displaystyle \pi }$。例如，表示半径为1的半圆的面积的积分为：[101]

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

由于${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$的积分表示上半圆（此处的平方根由勾股定理得出）, 从-1到1的积分${\displaystyle \int _{-1}^{x}}$可用来计算计算半圆与x 轴之间的面积。

正弦和余弦函数的重复周期为 2π。

三角函数要用到角，而数学家们常常用弧度作为角度的单位。${\displaystyle \pi }$在弧度制中起着重要作用，数学家将一个周角，即角度 360°，定义为${\displaystyle 2\pi }$弧度。[102]由这条定义可得，角度 180° 等于${\displaystyle \pi }$弧度，角度${\displaystyle 1^{\circ }={\frac {\pi }{180^{\circ }}}}$弧度。[102]因此，常用的三角函数的周期为${\displaystyle \pi }$的倍数；例如，正弦和余弦周期为${\displaystyle 2\pi }$，[103]对于任何角度${\displaystyle \theta }$和任何整数${\displaystyle k}$，都有

${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right)}$，以及 ${\displaystyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right).}$[103]

克莱因四次方的单值化，亏格为3且欧拉特征值为−4的面，作为双曲面与菲诺平面的对称群PSL(2,7)的商。根据高斯-博内定理，基本域的双曲面积为8π.

常数${\displaystyle \pi }$出现在将平面微分几何及其 拓扑学联系起来的高斯-博内定理中。具体来说，如果一个紧曲面Σ的高斯曲率为${\displaystyle K}$，那么有

${\displaystyle \int _{\Sigma }K\,dA=2\pi \chi (\Sigma )}$，

其中${\displaystyle \chi (\Sigma )}$是该曲面的欧拉示性数，是一个整数。[104]例如，一个曲率为1（也就是说其曲率半径也为1，对于球面而言此时的曲率半径与半径重合）的球面${\displaystyle S}$的表面积。球面的欧拉特征数可以通过其同源组计算，其结果为2。于是，便得出

${\displaystyle A(S)=\int _{S}1\,dA=2\pi \cdot 2=4\pi }$

即为半径为1的球面的表面积公式。

常数${\displaystyle \pi }$还出现在拓扑学的许多其他的积分公式中，特别是那些涉及通过陈-韦伊同态的特征类[105]。

向量分析的方法可以通过分解成球谐函数来理解（图示）

向量分析是与向量場的性质有关的微积分的分支，并有许多物理应用，例如应用在电磁学中。位于三维笛卡尔坐标系原点的点源${\displaystyle Q}$的牛顿位势为[106]

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-{\frac {kQ}{|\mathbf {x} |}}}$

表示位于距原点${\displaystyle \left\vert {\boldsymbol {x}}\right\vert }$的单位质量（或电荷）的势能，而${\displaystyle k}$是维度常数。在这里由${\displaystyle \mathrm {E} }$表示的场可以是（牛顿）引力場或（库仑）電場，是位势的负梯度：

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V.}$

特殊情况有库仑定律和牛顿万有引力定律。高斯定律表明，通过包含原点的任何平滑、简单、封闭、可定向曲面${\displaystyle S}$的场的向外通量等于${\displaystyle 4\pi kQ}$：

${\displaystyle 4\pi kQ=}$${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle {\scriptstyle S}}$${\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }$

标准形式会将${\displaystyle 4\pi }$的这个因子吸收到常数${\displaystyle k}$中，但这种说法表明了它必须出现在“某处”。此外，${\displaystyle 4\pi }$是单位球面的表面积，但並没有假设${\displaystyle S}$是球面。然而，作为散度定理的结果，由于远离原点的区域是真空（无源的），只有${\displaystyle \mathrm {R} ^{3}\setminus \left\{0\right\}}$中的表面${\displaystyle S}$的同调类与计算积分有关，因此可以由相同同调类中的任何方便的表面代替，特别是球形，因为球面坐标可以用于计算积分。

高斯定律的结果之一是位势${\displaystyle V}$的负拉普拉斯算子等于狄拉克δ函数的${\displaystyle 4\pi kQ}$倍：

${\displaystyle \Delta V(\mathbf {x} )=-4\pi kQ\delta (\mathbf {x} ).}$

通过卷积就能得到物质（或电荷）的更一般分布，给出泊松方程

${\displaystyle \Delta V(\mathbf {x} )=-4\pi k\rho (\mathbf {x} )}$

其中${\displaystyle \rho }$是分布函数。

爱因斯坦方程表明，时空的曲率是由其中的物质能量产生的。

常数${\displaystyle \pi }$在与爱因斯坦场方程中的四维势起类似的作用，爱因斯坦方程是形成廣義相對論基础的一个基本公式，并且把引力的基本相互作用描述为物质和能量引起的时空弯曲的结果：[107]

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu },}$

其中${\displaystyle R_{\mu v}}$是里奇曲率張量，${\displaystyle R}$是数量曲率，${\displaystyle g_{\mu v}}$是度量张量，${\displaystyle \Lambda }$是宇宙學常數，${\displaystyle G}$是万有引力常数，${\displaystyle c}$是真空中的光速，而${\displaystyle T_{\mu v}}$是應力-能量張量。爱因斯坦方程的左边是度量张量的拉普拉斯算子的非线性模拟，並化簡（reduce）至在弱域的極限，而右边是分布函数的模拟乘以${\displaystyle 8\pi }$。

複雜的解析函數可以以一系列的流綫和等電位綫（許多以直角相交的曲綫）視覺化，圖中是伽瑪函數的複數對數。

在复分析中，沿复平面若尔当曲线的围道积分是研究解析函数的重要手段之一。简化版的柯西積分公式表明，对任意若尔当曲线${\displaystyle \gamma }$内任一点${\displaystyle z_{0}}$，以下围道积分给出${\displaystyle 2\pi i}$：[108]