婆羅摩笈多公式
证明
圆内接四边形的面积 = 的面积 + 的面积
但由于是圆内接四边形,因此。故。所以:
对和利用余弦定理,我们有:
代入(这是由于和是互补角),并整理,得:
把这个等式代入面积的公式中,得:
它是的形式,因此可以写成的形式:
引入,
两边开平方,得:
证毕。
更特殊情況
若圓O的圆內接四邊形的四邊長為a, b, c, d,且外切于圆C,則其面積為:
证明
由于四边形内接于圆O,所以:
其中p為半周長:
又因为四边形外切圆C,所以:
则:
同理:
, ,
综上:
证毕。
一般情況
對一般四邊形的面積,擴展的婆羅摩笈多公式(布雷特施奈德公式)用到了四邊形的對角和:
其中是四邊形一對角和的一半。(選取另一對角也不會影響答案,因其和的一半是。而,所以。)
因為圓內接四邊形的對角和為,,而,所以項為零,給出公式的基本形式。
其中 p 及 q 為四邊形對角線之長。在圓內接四邊形中,根據托勒密定理我們有,此公式退回為基本形式。
相關定理
婆羅摩笈多公式的基本形式和擴充形式,就像由勾股定理擴充至餘弦定理一般。
- J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) pp. 345-347.
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