婆羅摩笈多

婆羅摩笈多在《婆羅摩曆算書》第十八章給了線性方程的解：

色之間的數交換後的差除以未知數的差，就是方程的解。[5]

當中方程${\displaystyle bx+c=dx+e}$的解是${\displaystyle x={\tfrac {e-c}{b-d}}}$，而色是指常數項c和e。他然後進一步給了二次方程兩個解：

18.44：色和二次項和4相乘的積加一次項的二次方的數，把這個數開方後減一次項，再把整個數除一次項的2倍，就是方程的解。[注 1]
18.45：色和二次項的積加一次項一半的二次方的數，把這個數開方後減一次項的一半，再把整個數除一次項就是方程的解。[注 2][5]

其實它們分別說了方程${\displaystyle ax^{2}+bx=c}$的解恆等於

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}}$

和

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {ac+{\tfrac {b^{2}}{4}}}}-{\tfrac {b}{2}}}{a}}}$。

婆羅摩笈多提供了頭${\displaystyle n}$個平方和及立方和的算法：

12.20. 平方和是[头几个整数直接和]乘以两倍[项数]与1的和后再除以3的结果。立方和是这直接和的平方。[注 3][6]

婆羅摩笈多的方法和現代的形式比較接近。

這裏婆羅摩笈多所給的頭${\displaystyle n}$個自然數的平方和立方的算法，分別為${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$和${\displaystyle [{\tfrac {n(n+1)}{2}}]^{2}}$

婆羅摩笈多普及了數學中一個非常重要的概念：0。《婆羅摩曆算書》是至今為止已知的第一部將0當作一個普通的數字來使用的著作。除此之外這部書還闡述了負數和0的運算規則。這些規則與今天的規則非常接近。

婆羅摩笈多在《婆羅摩曆算書》第十八章中這樣提到：

18.30：正數加正數為正數，負數加負數為負數。正數加負數為他們彼此的差，如果它們相等，結果就是零。負數加零為負數，正數加零為正數，零加零為零[注 4]
18.32：負數減零為負數，正數減零為正數，零減零為零，正數減負數為他們彼此的和。[注 5][5]

他這樣描述乘法：

18.33：正負得負，負負得正，正正得正，正數乘零﹑負數乘零和零乘零都是零。[注 6][5]

最大的區別在於婆羅摩笈多試圖定義除以零，在現代數學中這個運算是不確定的。

18.34：正數除正數或負數除負數為正數，正數除負數或負數除正數為負數，零除零為零[注 7][5]
18.35：正數或負數除以零有零作為該數的除數，零除以正數或負數有正數或負數作為該數的除數。正數或負數的平方為正數，零的平方為零。[注 8][5]

婆羅摩笈多的定義不實用，比如他認為${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}=0}$。而他並沒有保證${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}}$且${\displaystyle a\neq 0}$的說法是對的。[7]

圖供參考

婆羅摩笈多在《婆羅摩曆算書》第十二章中這樣提到

12.21：一個四邊形或三角形的大約面積是邊和對邊的和的一半。四邊形的準確面積是每一個邊分別地被另外三條邊減的和的一半的開方。[注 9][6]

設一個圓內接四邊形的四條邊為p﹑q﹑r﹑s，大約面積為${\displaystyle ({\tfrac {p+r}{2}})({\tfrac {q+s}{2}})}$，設${\displaystyle t={\tfrac {p+q+r+s}{2}}}$，準確面積則為${\displaystyle {\sqrt {(t-p)(t-q)(t-r)(t-s)}}.}$。

雖然婆羅摩笈多並沒有說四邊形為圓內接四邊形，但其實這是明顯的。[8]

婆羅摩笈多還提供了一個化圓為方的幾何方法：

12.40：直徑和半徑的二次方每個乘3分別地為圓形大約的周界和面積。而準確值則為直徑和半徑的二次方乘開方10。[注 10][6]

这个方法不十分精确，按照它的计算得出的圆周率为${\displaystyle \pi ={\sqrt {10}}\approx 3.162}$。