完整系統

完整約束方程式只跟位置、時間有關，跟速度無關。完整約束方程式可以幫助消除相關的變量。假設變量${\displaystyle x_{d}}$是完整約束函數${\displaystyle f_{i}}$的一個參數，則可以將${\displaystyle x_{d}}$從系統裏所有的方程式中消除。首先，必須求出${\displaystyle x_{d}}$的函數${\displaystyle g_{i}}$：

${\displaystyle x_{d}=g_{i}(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \dots ,\ x_{d-1},\ x_{d+1},\ \dots ,\ x_{N},\ t)}$。

將函數${\displaystyle g_{i}}$代入系統裏所有提到${\displaystyle x_{d}}$的方程式，就可以消除相關變量${\displaystyle x_{d}}$。

假設一個物理系統原本的自由度是${\displaystyle N}$。現在，新設定${\displaystyle h}$個完整約束作用於此系統。那麼，這系統的自由度減少為${\displaystyle m=N-h}$。可以使用${\displaystyle m}$個獨立廣義坐標${\displaystyle (q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m})}$來描述這系統的運動。廣義坐標的轉換方程式為

${\displaystyle x_{i}=x_{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots N}$。

有些時候，一個物理系統的某約束條件會以微分形式的方程式來表示，而不是以上述函數形式。思考第${\displaystyle i}$個約束條件的微分形式的方程式：

${\displaystyle \sum _{j}\ c_{ij}dq_{j}+c_{i}dt=0}$；

其中，${\displaystyle c_{ij}}$，${\displaystyle c_{i}}$分別為微分${\displaystyle dq_{j}}$與${\displaystyle dt}$的係數。

假若此約束方程式是可積分的，也就是說，存在有一個函數${\displaystyle f_{i}(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ t)=0}$的全微分滿足相等關係式

${\displaystyle df_{i}=\sum _{j}\ c_{ij}dq_{j}+c_{i}dt=0}$，

則此約束條件是完整約束；否則，此約束條件是非完整約束。請注意到，所有的完整約束和某些非完整約束都可以表示為微分形式的方程式；但是，並不是所有的非完整約束都可以這樣表示。跟廣義速度有關的非完整約束就不能這樣表示。所以，假若知道一個約束條件的微分形式的方程式，這約束條件到底是完整約束，還是非完整約束，需要看其微分形式的方程式是否可積分來決定。

為了要有條不紊地研究經典力學，必須有一個合理的分類制度。物理系統可以分類為完整系統與非完整系統。許多理論或方程式成立的條件之一，就是系統裏所有的約束都必須是完整約束。例如，假若一個物理系統是完整系統與單演系統，則拉格朗日方程式成立的必需與足夠的條件是哈密頓原理[1]。

簡單擺

一個簡單擺的擺錘遵守完整約束

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-L=0}$；

其中，${\displaystyle (x,\ y)}$是擺錘的位置，${\displaystyle L}$是擺長。

剛體內部的粒子們遵守完整約束

${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}-L_{ij}^{2}=0}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ , ${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$分別是粒子${\displaystyle P_{i}}$與${\displaystyle P_{j}}$的位置，${\displaystyle L_{ij}}$是它們之間的距離。

拉格朗日力學

哈密頓力學

非完整系統

定常系統

單演系統

保守系統