對偶多面體

對偶的性質可以透過一個已知的球定義。每個頂點都在一個平面之上，使得由中心向頂點的射線都和平面垂直，且中心和每點的距離的平方等於半徑的平方。在坐標來說，關於球：

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}$，

正方体的对偶多面体是正八面体。

在幾何學，若一種多面體的每個頂點均能對應到另一種多面體上的每個面的中心，它就是對方的對偶多面體。

根據對偶原則，每種多面體都存在對偶多面體。一種多面體的對偶多面體的對偶多面體等同該種多面體。

頂點

${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

和平面結合

${\displaystyle x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=r^{2}}$

相應的對偶多面體的頂點就是原來多面體的面的對應，而對偶多面體的面就是原來多面體的頂點的對應。另外，相鄰頂點定義出的棱能對應出兩個相鄰面，這些面的相交線亦定義出對偶多面體的一條棱。

這些規則能一般化到${\displaystyle n}$維空間，以定義出對偶多胞形。多胞形的頂點能對應到對偶者的${\displaystyle n-1}$維的元素，而${\displaystyle j}$點能定義${\displaystyle j-1}$維元素，該元素能對應到${\displaystyle j}$超平面，${\displaystyle j}$超平面相交的位置能給出一個${\displaystyle n-j}$維元素。蜂巢的對偶也能以近似方式定義。

這個對偶的概念和射影幾何中的對偶相關。

反角柱的對偶多面體是偏方面體，每面均呈鳶形。

多面體變換

原像	截角	截半	過截角	對偶	小斜方截半	大斜方截半	交錯
t0{p,q} {p,q}	t01{p,q} t{p,q}	t1{p,q} r{p,q}	t12{p,q} 2t{p,q}	t2{p,q} 2r{p,q}	t02{p,q} rr{p,q}	t012{p,q} tr{p,q}	ht0{p,q} h{q,p}	ht12{p,q} s{q,p}	ht012{p,q} sr{p,q}