局部環

局部環的概念由 Wolfgang Krull 於1938年引入,稱之為 Stellenringe,英譯 local ring 源自扎裡斯基

數學中,局部環是只有一個極大理想交換環

定義

為交換含環。若 僅有一個極大理想 ,則稱 (或 )為局部環。域 稱為 剩餘域

中僅有有限個極大理想,則稱之為半局部環

一個局部環 上帶有一個自然的 -進拓撲,使得 成為拓撲環;其開集由 生成。當 諾特環時,可證明 為豪斯多夫空間,且所有理想皆是閉理想。

為局部環,環同態 被稱為局部同態,若且唯若

例子

  • 是局部環。
  • 形式冪級數環 是局部環,其中 是個域。極大理想是
  • 取係數在 上,原點附近收斂半徑為正的冪級數,它構成一個局部環,極大理想表法同上。
  • 賦值環皆為局部環。
  • 為任意交換環, 為素理想,則相應的局部化 是局部環;這也是局部環應用的主要場合。若 已是局部環,則
  • 局部環的商環仍是局部環。

動機與幾何詮釋

局部環意在描述一個點附近的函數「芽」。設 為拓撲空間,,且。考慮所有資料 ,其中 的一個開鄰域,而 是連續函數。引入等價關係:

的開鄰域。

換言之,若兩個函數在 附近一致,則視之等同。上述等價類在逐點的加法及乘法下構成一個環 ,其元素稱作在 連續函數芽,它體現了連續函數在 附近的行為。若 滿足 ,則存在一個 的開鄰域 及連續函數 ,使得 恆非零,因此可定義乘法逆元 。於是 是局部環,其唯一的極大理想是所有在 點取零的函數,剩餘域則是

類似想法可施於微分流形解析流形複流形,稍作修改後亦可推廣至代數簇概形

在代數幾何與複幾何中,假設適當的有限性條件(例如凝聚性), 若一陳述對某一點的芽成立,則在該點的某個開鄰域上皆成立;就此而論,局部環集中表現了一點附近的局部性質

交換代數中,局部化的技術往往可將問題化約到局部環上;因此交換代數的許多定義與結果都落在局部環的框架內。

非交換的情形

一個含環 被稱作局部環,若且唯若它滿足下述等價條件:

  • R 僅有一個極大左理想。
  • R 僅有一個極大右理想。
  • ,且任兩個非可逆元的和仍為非可逆元。
  • ,且對任何元素 必有一者可逆。
  • ,若 中某個有限和是可逆元,則其中某項必可逆。

當上述任一性質成立,則下述三者等同:

  • R 的唯一極大左理想
  • R 的唯一極大右理想
  • R 的 Jacobson根

對於交換環,上述定義化為交換局部環的原始定義。

文獻

  • V.I. Danilov, , Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
  • H. Matsumura, Commutative algebra (1970), ISBN 0-8053-7026-9
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