嵌入 (数学)

拓撲上，一個嵌入是一個單射，使得拓撲空間到其像上為同胚。換言之，兩個拓撲空間X, Y之間的一個連續單射f: X→Y是一個拓撲嵌入，如果f給出X與f(X)間的同胚（空間f(X)上的拓撲是由Y誘導的子空間拓撲。）凡是連續單射的開映射或閉映射都是拓撲嵌入，不過一個嵌入也可能既非開映射也非閉映射：當其像f(X)不是Y中的開集或閉集時，便發生這種情況。

在微分拓撲中，令M, N為光滑流形，而f: M→N為光滑映射。則如果f的微分處處皆為單射，則稱f為一個浸入。此時的嵌入定義為一個符合拓撲嵌入定義的單射浸入，又稱為光滑嵌入。換言之，嵌入是微分同胚於其像，所以嵌入的像必是子流形。浸入是一個局部嵌入，即在每點${\displaystyle x\in M}$，都有鄰域${\displaystyle U\ni x}$，使得限制到這鄰域上的${\displaystyle f|_{U}\colon U\to N}$是嵌入。如果M是緊緻流形，則M的浸入必是嵌入。

光滑嵌入的一個重要情形是在N為${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$時。這情形引起興趣之處，在於對任何m維流形M，n需多大才保證有從M到${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$的光滑嵌入。惠特尼嵌入定理指n = 2m便足夠，而且是最好的上界。例如嵌入一個m維的實射影平面便需要n = 2m。

如果將光滑嵌入的定義中，f為光滑映射的條件放寬為C^k映射，其中k是正整數，而其餘條件不變，則f稱為C^k嵌入。

在黎曼幾何中，設(M,g), (N,h)是黎曼流形，一個等距嵌入是一個光滑嵌入f: M→N，令黎曼度量保持不變，即將h由f拉回等於g，就是${\displaystyle g=f^{*}(h)}$。更明確言之，對M中任何一點x，及任何兩個切向量

${\displaystyle v,w\in T_{x}(M)}$

都有

${\displaystyle g(v,w)=h(df(v),df(w)).}$

設X, Y為度量空間，映射${\displaystyle f\colon X\to Y}$是一個拓撲嵌入。如果f和${\displaystyle f^{-1}}$（定義在f(X)上）都是利普希茨連續，則稱f為雙利普希茨嵌入(bi-Lipschitz embedding)。換言之，如果存在常數${\displaystyle L\geq 1}$，使得

${\displaystyle {\frac {1}{L}}\ d_{X}(x,y)\leq d_{Y}(f(x),f(y))\leq L\ d_{X}(x,y)}$，

則稱f為(L-)雙利普希茨嵌入。

一個更廣義的嵌入是擬對稱嵌入(quasisymmetric embedding)。如前設f為拓撲嵌入。f稱為(η-)擬對稱嵌入，如果存在同胚${\displaystyle \eta \colon [0,\infty )\to [0,\infty )}$（即η(0)=0且η為嚴格遞增的連續函數），使得X中任何三點x, a, b若滿足

${\displaystyle d_{X}(x,a)\leq t\ d_{X}(x,b)}$，

其中t > 0，則有

${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(a))\leq \eta (t)\ d_{Y}(f(x),f(b)).}$

若f是一個L-雙利普希茨嵌入，可令${\displaystyle \eta (t)=L^{2}t}$，則f是η-擬對稱嵌入。

雙利普希茨嵌入的一個相關概念是擬等距嵌入。擬等距嵌入雖名為嵌入，卻不一定是嵌入，因其未必是單射。

域論上，從一個域E到另一個域F中的一個嵌入，是一個環同態σ: E → F。因為環同態的核是一個理想，而域的理想只有0及整個域本身，又σ(1)=1，故其核不能為整個域，即知核為0。因此這個環同態必定是單態射，而E和在F中的σ(E)同構。所以可稱兩個域之間的任何同態為嵌入。