域 (數學)

非正式的講，體是種集合，集合中的元素可以做兩種運算，"加法"：${\displaystyle a+b}$ 和"乘法"： ${\displaystyle a\cdot b}$, 且要求集合中任意元素 ${\displaystyle a}$ 有加法反元素 ${\displaystyle -a}$，對所有非零元素 ${\displaystyle b}$ 有乘法反元素 ${\displaystyle b^{-1}}$，這種性質讓我們可以用以下方法來定義加法和乘法的"反運算"，減法：${\displaystyle a-b}$ 和除法 ${\displaystyle a/b}$

${\displaystyle a-b=a+(-b)}$

${\displaystyle a/b=a\cdot b^{-1}}$

• 許多常见的数域都是域。比如说，全体复数的集合${\displaystyle \mathbb {C} }$对于加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合${\displaystyle \mathbb {Q} }$也是一个域，它是${\displaystyle \mathbb {C} }$的子域，并且不包含更小的子域了。
• 代数数域：代数数域是有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$的有限扩域，也就是说代数数域是${\displaystyle \mathbb {Q} }$上的有限维向量空间。代数数域都同构于${\displaystyle \mathbb {C} }$的子域，并且这个同构保持${\displaystyle \mathbb {Q} }$不变，即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是代数数论研究的对象。
• 代数数构成的域：所有的代数数的集合对于加法和乘法构成一个域，记作${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$。${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$是有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$的代数闭包（见下）。${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$是特征为零的代数封闭的域的一个例子。
• 全体实数的集合${\displaystyle \mathbb {R} }$对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$的子域，也是一个有序域。后者使得实数域上能够建立起微积分理论。
• 所有的实代数数的集合也构成一个域，它是${\displaystyle \mathbb {R} }$的一个子域
• 任意一个有限域的元素个数是一个素数q的乘方，一般记作F_q，就是所谓的伽罗瓦域。任意一个元素个数是素数q的域都同构于Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1}。令p = 2,就得到最小的域：F₂。F₂只含有两个元素0和1，运算法则如下：

${\displaystyle \oplus }$ 0 1 0 0 1 1 1 0

${\displaystyle \land }$ 0 1 0 0 0 1 0 1

• 设E和F是两个域，E是F的子域，则F是E的 扩域。设x是F中的一个元素，则存在着一个最小的同时包含E和x的F的子域，记作E (x)，E (x)称作E在F中关于 x的单扩张。比如说，复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$就是实数域${\displaystyle \mathbb {R} }$在${\displaystyle \mathbb {C} }$中关于虚数单位i的单扩张
• 每一个有乘法么元的环R都对应着一个包含它的域，称为它的分式域，记作K(R)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类，再将环“嵌入”其中（详见分式域）。可以证明，K(R)是包含R的“最小”的域。
• 设F是一个域，定义F (X)是所有以F中元素为系数的分式的集合，则F (X)是F的一个扩域。F (X)是F上的一个无穷维的向量空间，这是域的超越扩张的一个例子。
• 设F是一个域，p(X)是多项式环F[X]上的一个不可约多项式，则商环F[X]/<p(X)>是一个域。其中的<p(X)>表示由p(X)生成的理想。举例来说，R[X]/<X² + 1>是一个域（同构于复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$）。可以证明，F的所有单扩张都同构于此类形式的域。
• 若V是域F上的一个代數簇，则所有V → F 的有理函数构成一个域，称为V的函数域。
• 若S是一个黎曼曲面，则全体S → C 的亚纯函数构成一个域。
• 由于序数的类不是集合，因此在其上定义的尼姆数不能构成真正的域。但它满足域的所有条件，且其任意封闭子集（如小于${\displaystyle 2^{2^{n}}}$的所有自然数构成的子集）都是域。

• 域F中的所有非零元素的集合（一般记作F^×）是一个關於乘法的阿贝尔群。F^×的每个有限子群都是循环群。
• 若存在正整数n使得0 = 1 + 1 + ... + 1（n个1），那么这样的n中最小的一个称为这个域的特征，特征要么是一个素数p，要么是0（表示这样的n不存在）。此时${\displaystyle F}$中最小的子域分别是${\displaystyle \mathbb {Q} }$或有限域${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$，称之为${\displaystyle F}$的素域。
• 一个交换环是域当且仅当它的理想只有自身和零理想。
• 在选择公理成立的假设下，对每个域F都存在着唯一的一个域G（在同构意义上），G包含F，G是F的代数扩张，并且G代数封闭。G称作由F确定的代数闭包。在很多情况下上述的同构并不是唯一的，因此又说G是F的一个代数闭包。

有限體是一個體有著有限多個元素，其元素個數也跟體的階數相同，按照體的定義，可以知道${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$為最小的有限體，因為根據定義，一個體至少包含兩個元素${\displaystyle 1\neq 0}$。

通常來說，最簡單的質數階體，就是${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\{0,1,...n-1\}}$，在這個體上的加法與乘法等同於在整數${\displaystyle \mathbb {\mathbb {Z} } }$上的運算，然後除以n，取它的餘數。這個運算精確的建構了一個體，如果說這個n為質數，通常我們將這個體記作${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$。

如果我們將向量空間${\displaystyle {\mathit {V}}=\mathbb {F} _{p}/m^{n}}$，則我們將V稱作有限體向量空間，其中${\displaystyle n=\dim {\mathit {V}}}$，可知這個向量空間中，有${\displaystyle p^{n}}$個元素。

如果我們將有限體放入矩陣，也就是${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {F} _{p})}$，則此矩陣的元素有${\displaystyle (p^{n}-1)(p^{n}-p)...(p^{n}-p^{n-1})}$

歷史上，三個代數中的學科導引到了體的概念:第一個是解多項式方程的問題，第二個是代數數論，第三個則是代數幾何的問題。體的概念始於1770年，由拉格朗日所提出。拉格朗日他觀察到關於三次方程的根x₁, x₂, x₃的置換，在以下的表達

(x₁ + ωx₂ + ω²x₃)³

(其中ω是三次方程的單位根)只產生兩個值。在這方向上，拉格朗日概念上的解釋了由 希皮奧內·德爾·費羅 和 弗朗索瓦·韋達 的經典解法，其解法藉由簡化三次方程關於未知 x 到一個 x³的二次方程。四次方程上也和三次方程一樣有相似的觀察，拉格朗日因此連結的關於體的概念還有群的概念。數學家范德蒙也同樣在1770年有著更全面的延伸。

請參見伽羅瓦理論

• 特徵 (代数)
• 環論
• 域論
• 有序域