希尔伯特-波利亚猜想

在一封由乔治·波利亚于1982年1月3日写给安德鲁·奥德里兹科（Andrew Odlyzko）的信中，波利亚提到他于1912年至1914年间在哥廷根时，爱德蒙·兰道曾询问过他是否有使得黎曼猜想成立的物理原因。当时波利亚提出，黎曼ζ函数的所有非平凡零点

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+it}$

的虚部t可能对应某一无界自伴算符的特征值。而这一猜想最早的文字记录则由休·蒙哥马利（Hugh Montgomery）于1973年作出。

波利亚最早提出了可能与量子力学有关的希尔伯特－波利亚算符。该算符可表示为${\displaystyle 1/2+iH}$，其中${\displaystyle H}$是质量为${\displaystyle m}$、势能为${\displaystyle V(x)}$的粒子的哈密顿算符。黎曼的猜想等价于哈密顿算符为厄米算符，或者说${\displaystyle V}$是实的。

根据一阶修正的微扰理论，第n特征态的能量与势能期望值有关：

${\displaystyle E_{n}=E_{n}^{0}+\langle \phi _{n}^{0}\vert V\vert \varphi _{n}^{0}\rangle }$

其中，${\displaystyle E_{n}^{0}}$与${\displaystyle \varphi _{n}^{0}}$分别为自由粒子哈密顿算符的特征值与特征态。此方程可以看作第一类弗雷德霍姆积分方程。这样的积分方程可使用预解核的方法求解，因而能够得到势能的表达式

${\displaystyle V(x)=A\int _{-\infty }^{\infty }(g(k)+{\overline {g(k)}}-E_{k}^{0})\,R(x,k)\,dk}$

其中，${\displaystyle R(x,k)}$为预解核，${\displaystyle A}$为一实常数，而

${\displaystyle g(k)=i\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-\rho _{n}\right)\delta (k-n)}$

其中，${\displaystyle \delta (k-n)}$为狄拉克δ函数，${\displaystyle \rho _{n}}$则为黎曼猜想的非平凡零点。

迈克尔·贝里与乔·基廷（Jon Keating）推测${\displaystyle H}$实际是经典哈密顿量${\displaystyle xp}$的某种量子化，与${\displaystyle xp}$相应的最简单的厄米算符为

${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}(xp+px)=-i\left(x{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+{\frac {1}{2}}\right).}$

这一对希尔伯特－波利亚猜想的改进被称为贝里猜想（Berry conjecture）或贝里－基廷猜想（Berry-Keating conjecture）。然而如今对这一猜想的了解仍不多。贝里与谢拉（Germán Sierra）猜测，既然此算符在膨胀（dilation）下不变，那么对整数${\displaystyle n}$成立的边界条件${\displaystyle f(nx)=f(x)}$或许可以有助于得到对大数${\displaystyle n}$下${\displaystyle {\frac {1}{2}}+i{\frac {2\pi n}{\log n}}}$成立的渐近结果。

• Aneva B., "Symmetry of the Riemann operator", (1999) Physics Letters, B450: 388–396.
• Berry, Michael V.; Keating, Jonathan P., , Keating, Jonathan P.; Khmelnitski, David E.; Lerner, Igor V. (编), (PDF), New York: Plenum: 355–367, 1999a, ISBN 978-0-306-45933-7.
• Montgomery, Hugh L., , , Proc. Sympos. Pure Math. XXIV, Providence, R.I.: American Mathematical Society: 181–193, 1973, MR0337821
• Berry, M.V.; Keating, J.P. (1999b), "The Riemann zeros and eigenvalue asymptotics", SIAM Review, 41(2): 236–266.
• Odlyzko,
• Zeev Rudnick; Peter Sarnak (1996), "Zeros of Principal L-functions and Random Matrix Theory", Duke Journal of Mathematics, 81: 269–322.
• Elizalde Emilio ; 'Zeta regularization techniques with applications' ISBN 978-981-02-1441-8981-02-1441-3, here the author explain in what sense the problem of HIlbert-Polya is related with the problem of Gutzwiller Trace formula and what would be the value of the sum ${\displaystyle \exp(i\gamma )}$ taken over the imaginary parts of the zeros.