延森不等式
琴生不等式(Jensen's inequality)以丹麥數學家約翰·延森(Johan Jensen)命名。它給出積分的凸函數值和凸函數的積分值間的關係。延森不等式有以下推论:过一个凸函数上任意两点所作割线一定在这两点间的函数图象的上方,即:
一般形式
延森不等式可以用測度論或概率論的語言給出。這兩種方式都表明同一個很一般的結果。
特例
機率密度函數的形式
假設是實數軸上的可測子集,而是非負函數,使得
以概率論的語言,是個機率密度函數。
延森不等式变成以下關於凸積分的命題:
若是任一實值可測函數,在的值域中是凸函數,則
若,則這形式的不等式簡化成一個常用特例:
有限形式
若是有限集合,而是上的正規計數測度,則不等式的一般形式可以簡單地用和式表示:
,其中。
若是凹函數,只需把不等式符號調轉。
假設是正實數,,及。上述和式便成了
,兩邊取自然指數就得出熟悉的:
這不等式也有無限項的離散形式。
參考書目
- Walter Rudin. . McGraw-Hill. 1987. ISBN 0-07-054234-1.
- David Chandler. . Oxford. 1987. ISBN 0-19-504277-8.
注釋
外部連結
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