悬链线

表达式的证明

如右图，设最低点${\displaystyle A}$处受水平向左的拉力${\displaystyle H}$，右悬挂点处表示为${\displaystyle C}$点，在${\displaystyle AC}$弧线区段任意取一段设为${\displaystyle B}$点，则${\displaystyle AB}$受一个斜向上的拉力${\displaystyle T}$，设${\displaystyle T}$和水平方向夹角为${\displaystyle \theta }$，绳子的质量为${\displaystyle m}$,受力分析有：

${\displaystyle T\sin \theta =mg}$；

${\displaystyle T\cos \theta =H}$，

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {mg}{H}}}$，

${\displaystyle mg=\rho s}$，　其中${\displaystyle s}$是右段${\displaystyle AB}$绳子的长度，${\displaystyle \rho }$是绳子线重量密度，${\displaystyle \tan \theta }$为切线方向，记${\displaystyle a={\frac {\rho }{H}}}$, 代入得微分方程${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=as}$;

利用弧长公式${\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {1+{\dfrac {\mathrm {d} y^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}}}\mathrm {d} x}$;

所以${\displaystyle s=\int {\sqrt {1+{\dfrac {\mathrm {d} y^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}}}\mathrm {d} x}$;

再把${\displaystyle s}$代入微分方程得${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=a\int {\sqrt {1+{\frac {\mathrm {d} y^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}}}{\mathrm {d} x}\ \cdots \cdots \ (1)}$

对于${\displaystyle (1)}$设${\displaystyle p={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$微分处理

得 ${\displaystyle p'={\frac {\rho }{H}}{\sqrt {1+p^{2}}}\ \cdots \cdots \ (2)}$

其中${\displaystyle p'={\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}}$;

对(2)分离常量求积分

${\displaystyle \int {\frac {dp}{\sqrt {1+p^{2}}}}=\int adx}$

得${\displaystyle ln(p+{\sqrt {1+p^{2}}})=ax+C}$，即${\displaystyle \mathrm {arsinh} p=ax+C}$

其中${\displaystyle \mathrm {arsinh} p}$为反双曲函数;

当${\displaystyle x=0}$时，${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=p=0}$；

带入得${\displaystyle C=0}$；

整理得${\displaystyle \mathrm {arsinh} p={\frac {\rho x}{H}}}$.

悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到悬链线的原理。 在工程中有一种应用，${\displaystyle a}$称作悬链系数。如果我们改变公式的写法，会给工程应用带来很大帮助，公式及图像如下：

${\displaystyle y=a\ \left(\cosh {\frac {x}{a}}-1\right)}$

还有以下几个公式，可能也有用：

${\displaystyle L=a\ \sinh {\frac {x}{a}}}$

${\displaystyle \tan \alpha =\sinh {\frac {x}{a}}}$

${\displaystyle F_{0}=a\ \gamma }$

其中${\displaystyle L}$是曲线中某点到0点的链索长度，${\displaystyle \alpha }$是该点的正切角，${\displaystyle F_{0}}$是0点处的水平张力，${\displaystyle \gamma }$是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。

• 曳物線
• 双曲函数