双曲函数

sinh, cosh和tanh

csch, sech和coth

• ${\displaystyle \sinh x={{e^{x}-e^{-x}} \over 2}}$
• ${\displaystyle \cosh x={{e^{x}+e^{-x}} \over 2}}$
• ${\displaystyle \tanh x={{\sinh x} \over {\cosh x}}}$
• ${\displaystyle \coth x={1 \over {\tanh x}}}$
• ${\displaystyle {\mathop {\rm {sech}} }x={1 \over {\cosh x}}}$
• ${\displaystyle {\mathop {\rm {csch}} }x={1 \over {\sinh x}}}$

函数${\displaystyle \cosh x\!}$是关于y轴对称的偶函数。函数${\displaystyle \sinh x\!}$是奇函数。

如同当${\displaystyle t}$遍历实数集${\displaystyle \mathbb {R} }$时，点（${\displaystyle \cos t\!}$, ${\displaystyle \sin t\!}$）的轨迹是一个圆${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$一样，当${\displaystyle t}$遍历实数集${\displaystyle \mathbb {R} }$时，点（${\displaystyle \cosh t\!}$, ${\displaystyle \sinh t\!}$）的轨迹是單位雙曲線${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$的右半边。这是因为有以下的恒等式：

${\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1\,}$

参数t不是圆角而是双曲角，它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点（${\displaystyle \cosh t\!}$, ${\displaystyle \sinh t\!}$）的直线之间的面积的两倍。

在直角雙曲線(方程y = 1/x)下，雙曲線三角形(黃色)，和對應於雙曲角u的雙曲線扇形(紅色)。這個三角形的邊分別是雙曲函數中cosh和sinh的√2倍。

在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特引入雙曲函數[1]，並計算了雙曲幾何中雙曲三角形的面積[2]。自然對數函數是在直角雙曲線${\displaystyle xy=1}$下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線${\displaystyle y=x}$上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角u，在漸近線即x或y軸上需要有的x或y的值。顯見這裡的底邊是${\displaystyle \left(e^{u}+e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}}$，垂線是${\displaystyle \left(e^{u}-e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}}$。

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：

• ${\displaystyle \cosh u={\frac {e^{u}+e^{-u}}{2}}}$
• ${\displaystyle \sinh u={\frac {e^{u}-e^{-u}}{2}}}$

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線${\displaystyle xy=1}$下雙曲角的 1/2。

雙曲角經常定義得如同虛數圓角。實際上，如果x是實數而i² = −1，則

${\displaystyle \cos(ix)=\cosh(x),\quad }$ ${\displaystyle -i\sin(ix)=\sinh(x).}$

所以雙曲函數cosh和sinh可以通過圓函數來定義。這些恆等式不是從圓或旋轉得來的，它們應當以無窮級數的方式來理解。特別是，可以將指數函數表達為由偶次項和奇次項組成，前者形成cosh函數，後者形成了sinh函數。cos函數的無窮級數可從cosh得出，通過把它變為交錯級數，而sin函數可來自將sinh變為交錯級數。上面的恆等式使用虛數i，從三角函數的級數的項中去掉交錯因子(−1)ⁿ，來恢復為指數函數的那兩部份級數。

${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x\!}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&\sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}&\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\end{array}}}$

雙曲函數可以通過虛數圓角定義為：

${\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix)\!}$

${\displaystyle \cosh x=\cos(ix)\!}$

${\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix)\!}$

${\displaystyle \coth x=i\cot(ix)\!}$

${\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix)\!}$

${\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix)\!}$

這些複數形式的定義得出自歐拉公式。

奧古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科書《Trigonometry and Double Algebra》中將圓三角學擴展到了雙曲線[3]。威廉·金頓·克利福德在1878年使用雙曲角來參數化單位雙曲線。

給定相同的角α，在雙曲線上計算雙曲角的量值（雙曲扇形面積除以半徑）得到雙曲函數，角α得到三角函數。在單位圓和單位雙曲線上，双曲函数与三角函数有如下的关係:

• 正弦同樣是從x軸到曲線的半弦。
• 餘弦同樣是從y軸到曲線的半弦（圖中的餘弦是長方形的另一條邊）。
• 正切同樣是過x軸上單位點（1,0）在曲線上的切線到終邊的長度。
• 餘切同樣是從y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和曲線連線之長度。
• 正割同樣是在一個有正切和單位長的直角三角形上，但邊不一樣。
• 餘割同樣是y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和原點之距離。
• 角的量值可以從0到無限大，但α實際上只會介於0到${\displaystyle 2\pi }$（360度）之間，其餘是α的同界角，再繞著圓旋轉，故三角函數可以有周期。雙曲角的量值可以從0到無限大，但α實際上不會超過${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$（45度），故無法如三角函數一樣有周期性。

与双曲函数有关的恆等式如下:

${\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\,}$

• 加法公式：

${\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\,}$

${\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\,}$

${\displaystyle \tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\,}$

• 二倍角公式：

${\displaystyle \sinh 2x\ =2\sinh x\cosh x\,}$

${\displaystyle \cosh 2x\ =\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1=2\sinh ^{2}x+1\,}$

• 半角公式：

${\displaystyle \cosh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x+1}{2}}}$

${\displaystyle \sinh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x-1}{2}}}$

由于雙曲函數和三角函数之间的对应关系，雙曲函數的恆等式和三角函數的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式，只需要將其中的三角函數轉成相應的雙曲函數，并将含有有兩個sinh的積的项（包括${\displaystyle \coth ^{2}x,\tanh ^{2}x,\operatorname {csch} ^{2}x,\sinh x\sinh y}$）轉換正負號，就可得到相應的雙曲函數恆等式[4]。如

• 三倍角公式：

三角函数的三倍角公式为：

${\displaystyle \sin 3x\ =3\sin x-4\sin ^{3}x}$

${\displaystyle \cos 3x\ =-3\cos x+4\cos ^{3}x}$

而对应的双曲函数三倍角公式则是：

${\displaystyle \sinh 3x\ =3\sinh x+4\sinh ^{3}x}$

${\displaystyle \cosh 3x\ =-3\cosh x+4\cosh ^{3}x}$

• 差角公式：

三角函数的差角公式为：${\displaystyle \cos(x-y)\ =\cos x\cos y+\sin x\sin y}$

而对应的双曲函数的差角公式则是：${\displaystyle \cosh(x-y)\ =\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh x=\cosh x\,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cosh x=\sinh x\,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x={\hbox{sech}}^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\,}$

雙曲函數也可以以泰勒級數展開:

${\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$

${\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$

${\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }$（罗朗级数）

${\displaystyle \operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }$（罗朗级数）

其中

${\displaystyle B_{n}\,}$是第n項伯努利數

${\displaystyle E_{n}\,}$是第n項欧拉數

${\displaystyle \int \sinh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\cosh cx+C}$

${\displaystyle \int \cosh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\sinh cx+C}$

${\displaystyle \int \tanh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln(\cosh cx)+C}$

${\displaystyle \int \coth cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln \left|\sinh cx\right|+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {sech} cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\arctan(\sinh cx)+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {csch} cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln \left|\tanh {\frac {cx}{2}}\right|+C}$

從雙曲正弦和餘弦的定義，可以得出如下恆等式:

${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x}$

和

${\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x}$

因為指數函數可以定義為任何複數參數，也可以擴展雙曲函數的定義為複數參數。函數sinh z和cosh z是全純函數。

指數函數與三角函數的關係由歐拉公式給出：

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\;\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\;\sin x\end{aligned}}}$

所以:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\tanh ix&=i\tan x\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x&=\cos ix\\\sinh x&=-i\sin ix\\\tanh x&=-i\tan ix\end{aligned}}}$

因此，雙曲函數是關於虛部有週期的，週期為${\displaystyle 2\pi i}$ (對雙曲正切和餘切是${\displaystyle \pi i}$).

反双曲函数是双曲函数的反函数。它们的定义为：

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right);0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right);x\neq 0\end{aligned}}}$

• 反双曲函数
• 双曲函数符号
• 三角函数
• 古德曼函数