戴尔指数

假設一個人口為N的群體，其收入分別為x_i (i = 1,...,N)，則它的戴爾指數T定義為[6]：

${\displaystyle T_{T}=T_{\alpha =1}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}}{\mu }}\ln \left({\frac {x_{i}}{\mu }}\right)}$

而戴爾指數L則定義為

${\displaystyle T_{L}=T_{\alpha =0}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln \left({\frac {\mu }{x_{i}}}\right)}$

其中${\displaystyle x_{i}}$为第${\displaystyle i}$个人的收入，${\displaystyle {\mu }}$为平均收入，${\displaystyle N}$为人口数量。加总符号中的第一项可以理解为个人在总收入中所占的比例，第二项为该个人相对于均值的收入。

如果收入分布是個離散分布函數 f_k (k = 0,...,W)，其中f_k是收入為k的人口比例，而W = Nμ 代表總收入，可以得知 ${\displaystyle \sum _{k=0}^{W}f_{k}=1}$ 。 它的戴爾指數T定義為：

${\displaystyle T_{T}=\sum _{k=0}^{W}\,f_{k}\,{\frac {k}{\mu }}\ln \left({\frac {k}{\mu }}\right)}$

這裡的${\displaystyle \mu }$一樣是收入平均

${\displaystyle \mu =\sum _{k=0}^{W}kf_{k}}$

其中應注意到收入k是一個整數，k=1代表最小收入增量（比如新台幣1元）。

如果收入分布是個連續分布函數f(k)，k取值0到無窮，其中f(k) dk 是收入為k 到 k + dk的人口數量，那戴爾指數T定義為：

${\displaystyle T_{T}=\int _{0}^{\infty }f(k){\frac {k}{\mu }}\ln \left({\frac {k}{\mu }}\right)dk}$

其中平均${\displaystyle \mu }$為：

${\displaystyle \mu =\int _{0}^{\infty }kf(k)\,dk}$

一些常見連續概率分佈的戴尔指數如下表所示：

收入分布函數	PDF(x) (x ≥ 0)	戴尔指数（納特）
狄拉克δ函數	${\displaystyle \delta (x-x_{0}),\,x_{0}>0}$	0
連續型均勻分布	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&a\leq x\leq b\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$	${\displaystyle \ln \left({\frac {2a}{(a+b){\sqrt {e}}}}\right)+{\frac {b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}\ln(b/a)}$
指數分布	${\displaystyle \lambda e^{-x\lambda },\,\,x>0}$	${\displaystyle 1-}$ ${\displaystyle \gamma }$
對數常態分布	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{(-(\ln(x)-\mu )^{2})/\sigma ^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{2}}}$
帕累托分布	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\alpha k^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&x\geq k\\0&x<k\end{cases}}}$	${\displaystyle \ln(1\!-\!1/\alpha )+{\frac {1}{\alpha -1}}}$    (α>1)
卡方分布	${\displaystyle {\frac {2^{-k/2}e^{-x/2}x^{k/2-1}}{\Gamma (k/2)}}}$	${\displaystyle \ln(2/k)+}$ ${\displaystyle \psi ^{(0)}}$${\displaystyle (1\!+\!k/2)}$
伽瑪分布	${\displaystyle {\frac {e^{-x/\theta }x^{k-1}\theta ^{-k}}{\Gamma (k)}}}$	${\displaystyle \psi ^{(0)}}$${\displaystyle (1+k)-\ln(k)}$
韋伯分布	${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$ ${\displaystyle \psi ^{(0)}}$${\displaystyle (1+1/k)-\ln \left(\Gamma (1+1/k)\right)}$

如果每一个人都有相同的收入，即等于均值，则指数为零。如果某个个人拥有所有的收入，则指数为${\displaystyle \ln {N}}$。T_T 除以${\displaystyle \ln N}$ 可以將方程歸一化到0到1的範圍，但這樣違反獨立公理: ${\displaystyle T[x\cup x]\neq T[x]}$並不符合衡量不平等的標準。

戴尔指数导自克勞德·夏農的信息熵，他的一般數學形式為：

${\displaystyle S=k\sum _{i=1}^{N}\left(p_{i}\log {\frac {1}{p_{i}}}\right)=-k\sum _{i=1}^{N}\left(p_{i}\log {p_{i}}\right)}$

其中 ${\displaystyle p_{i}}$是從人群裡找到${\displaystyle i}$的機率。${\displaystyle k}$是玻爾茲曼常數。在信息論中，當信息以二進制數字給出時，${\displaystyle k=1}$並且對數基底為2。在物理學和戴爾指數的計算中，選擇自然對數作為對數基底。當${\displaystyle p_{i}}$替換成人均收入${\displaystyle x_{i}}$時，需要除以總收入達到歸一化${\displaystyle N{\overline {x}}}$。那可以導出，觀察到的信息熵為：

${\displaystyle S_{\text{Theil}}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {x_{i}}{N{\overline {x}}}}\ln {\frac {N{\overline {x}}}{x_{i}}}\right)}$

设${\displaystyle T}$为戴尔指数，${\displaystyle S}$为夏農熵，则有

${\displaystyle T=\ln(N)-S}$

其中，ln(N)是理論最大熵。香濃根据事件发生概率导出的其熵测度。它可以用戴尔系数解释为自某个特定个人处随机取得一块钱的概率。并与其第一项，即总收入中个人所占份额相同。

符號	信息論	戴爾指數 TT
${\displaystyle N}$	字符數	人口數
${\displaystyle i}$	某個特定字符	某個特定人
${\displaystyle x_{i}}$	第i個字符 character	第i個人的收入
${\displaystyle N{\overline {x}}}$	總字符數	總收入
${\displaystyle T_{T}}$	未被使用的資訊空間	未使用潛在價格機制

戴尔指数的一个优点是它是某个子群体中不平等的加权和[1]。例如，美国国内的不平等就是每个州的不平等的加权和，由该州收入相对于国家总收入的比值来加权。

如果人口被划分为${\displaystyle m}$个子群体，${\displaystyle s_{k}}$ 为群体${\displaystyle k}$ 的收入比例，${\displaystyle T_{k}}$为该子群体的戴尔指数，而 ${\displaystyle {\overline {x}}_{k}}$ 为子群体 ${\displaystyle k}$的平均收入，则戴尔指数为

${\displaystyle T=\sum _{k=1}^{m}s_{k}T_{T_{k}}+\sum _{k=1}^{m}s_{k}\ln {\frac {{\overline {x}}_{k}}{\overline {x}}}}$

因此，我们可以说某个特定群体给总体“贡献了”一定数量的不平等。

另外一个被广泛使用的不平等度量为基尼系数，该系数对于很多人来说由于基于劳伦茨曲线而非常直观。但是它却没有戴尔指数容易分解。

• 德克萨斯大学戴尔指数简介（英文）
• 試算表: en:Income inequality metrics#Spreadsheet computations
• 免費在線計算器 計算基尼係數，繪製洛倫茲曲線，並為任何數據集計算許多其他濃度測量值
• Free Calculator: Online and downloadable scripts (Python and Lua) for Atkinson, Gini, and Hoover inequalities
• Users of the R data analysis software can install the "ineq" package which allows for computation of a variety of inequality indices including Gini, Atkinson, Theil.
• MATLAB 不平等包。MATLAB不平等包，其中包括用於計算基尼，阿特金森，泰爾指數和標繪洛倫茨曲線的代碼