連續型均勻分布

一个均匀分布在区间[a,b]上的连续型随机变量${\displaystyle X}$可给出如下函数：

概率密度函数：

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{for }}a\leq x\leq b\\0&{\mbox{elsewhere}}\end{matrix}}\right.}$

累积分布函数：

${\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{for }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{for }}a\leq x<b\\1&{\mbox{for }}x\geq b\end{matrix}}\right.}$

MGF：

${\displaystyle M_{X}(t)=E(e^{tx})={\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}}$

期望值和中值： 是指连续型均匀分布函数的期望值和中值等于区间[a,b]上的中间点。

${\displaystyle E[X]={\frac {a+b}{2}}}$

方差：

${\displaystyle VAR[X]={\frac {(b-a)^{2}}{12}}}$

均匀分布具有下属意义的等可能性。若${\displaystyle X\sim U[a,b]}$,则X落在[a,b]内任一子区间[c,d]上的概率：

${\displaystyle P(c\leq x\leq d)=F(d)-F(c)=\int _{c}^{d}{\frac {1}{b-a}}\,dx={\frac {d-c}{b-a}}}$

只与区间[c,d]的长度有关，而与它的位置无关。