扰动位

因此，扰动位 ${\displaystyle T}$ 在边界面的外部（${\displaystyle r>R}$）展开为球谐函数：[1]^:88

${\displaystyle T(r,\theta ,\lambda )=\sum _{n=0}^{\infty }\left({R \over r}\right)^{n+1}T_{n}(\theta ,\lambda )}$

其中球坐标 ${\displaystyle (r,\theta ,\lambda )}$ 表示外部空间某一点的径向距离、极角和经度。${\displaystyle T_{n}(\theta ,\lambda )}$ 则表示 ${\displaystyle n}$ 阶面谐函数，且有完全形式：[3]^:215

${\displaystyle T_{n}(\theta ,\lambda )={GM \over R}\sum _{m=0}^{n}\left(\Delta C_{nm}\cos {m\lambda }+\Delta S_{nm}\sin {m\lambda }\right)P_{nm}(\cos {\theta })}$

上式中各项的含义如下：

• ${\displaystyle GM}$ 地心引力常数
• ${\displaystyle n}$为面谐函数的阶数

• ${\displaystyle R}$ 为用以近似的地球半径
• ${\displaystyle P_{nm}}$ 是 ${\displaystyle n\ }$阶 ${\displaystyle m\ }$次的缔合勒让德多项式
• ${\displaystyle \Delta C_{nm}}$ 和 ${\displaystyle \Delta S_{nm}}$ 是真实重力位与正常重力位所采用的球谐系数的差值

又根据正常椭球体的定义，其产生的正常重力位应当与真实重力位在球谐展开式的最大项上相同，且具有一阶系数为零的性质，所以扰动位也常写为：[3]^:215

${\displaystyle T(r,\theta ,\lambda )=\sum _{n=2}^{\infty }\left({R \over r}\right)^{n+1}T_{n}(\theta ,\lambda )}$

以球面对大地水准面进行近似（即假设 ${\displaystyle r=R}$），不考虑球谐函数是否收敛的问题，则大地水准面上的扰动位可以表达为：[3]^:215

${\displaystyle T=T(R,\theta ,\lambda )=\sum _{n=2}^{\infty }T_{n}(\theta ,\lambda )}$

重力扰动是指大地水准面上的一点 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ 处，真实重力 ${\displaystyle {\vec {\text{g}}}_{P}}$ 与同一位置上的正常重力 ${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{P}}$ 的差异[3]^:84，即

${\displaystyle \delta {\vec {\text{g}}}={\vec {\text{g}}}_{P}-{\vec {\gamma }}_{P}}$

利用球面近似，重力扰动可以通过扰动位的一阶径向导数来表述：[3]^:85

${\displaystyle \delta {\text{g}}=-({\partial W \over \partial n}-{\partial U \over \partial n'})\longrightarrow \delta {\text{g}}=-({\partial W \over \partial n}-{\partial U \over \partial n})=-{\partial T \over \partial n}\longrightarrow \delta {\text{g}}=-{\partial T \over \partial r}}$

其中 ${\displaystyle n}$ 和 ${\displaystyle n'}$ 分别表示真实重力与正常重力方向，即铅垂线方向和椭球的法线方向。

将其展开作级数，得：[3]^:88

${\displaystyle \delta {\text{g}}={1 \over r}\sum _{n=2}^{\infty }(n+1)\left({R \over r}\right)^{n+1}T_{n}(\theta ,\lambda )}$

重力异常与重力扰动的区别在于，重力异常比较的重力是点 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ 处的真实重力 ${\displaystyle {\vec {\text{g}}}_{P}}$ 和其在椭球面上的投影 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 处的正常重力 ${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{Q}}$ [3]^:83，即

${\displaystyle \Delta {\vec {\text{g}}}={\vec {\text{g}}}_{P}-{\vec {\gamma }}_{Q}}$

其与重力扰动和扰动位的一阶径向导数的关系由重力测量基本微分方程给出[3]^:86，这一方程的球面近似形式为：

${\displaystyle {\partial T \over \partial r}+{2 \over r}T+\Delta {\text{g}}=0\longrightarrow \Delta {\text{g}}=-{\partial T \over \partial r}-{2 \over r}T}$

将其展开作级数，得：[3]^:89

${\displaystyle \Delta {\text{g}}={1 \over r}\sum _{n=2}^{\infty }(n-1)\left({R \over r}\right)^{n+1}T_{n}(\theta ,\lambda )}$

通过泊松积分公式，可以在表达出大地水准面上的重力异常 ${\displaystyle \Delta {\text{g}}}$ 和扰动位 ${\displaystyle T}$ 之间的关系，即：[3]^:93-94

${\displaystyle T={R \over 4\pi }\iint \limits _{\sigma }\Delta g\,S(\psi )\operatorname {d} \!\sigma }$

这一公式由爱尔兰数学物理学家斯托克斯在1849年给出，又称为斯托克斯公式。其中的 ${\displaystyle S(\psi )}$ 被称为斯托克斯函数[7]，该项由单位球面上的被计算点与重力异常观测值所在的角元素之间的夹角 ${\displaystyle \psi }$ 决定：[3]^:94

${\displaystyle S(\psi )={1 \over \sin(\psi /2)}-6\sin {\psi \over 2}+1-5\cos {\psi }-3\cos {\psi }\ln {(\sin {\psi \over 2}+\sin ^{2}{\psi \over 2})}}$