法线
三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面(tangent plane)的向量。
法線是与多边形(polygon)的曲面垂直的理論線,一個平面(plane)存在無限個法向量(normal vector)。在電腦圖學(computer graphics)的領域裡,法線決定著曲面與光源(light source)的浓淡处理(Flat Shading),对于每个点光源位置,其亮度取决于曲面法线的方向。
法线的计算
对于像三角形这样的多边形来说,多边形两条相互不平行的边的叉积就是多边形的法线。
用方程表示的平面,向量就是其法线。
如果S是曲线坐标x(s, t)表示的曲面,其中s及t是实数变量,那么用偏导数叉积表示的法线为
- 。
如果曲面S用隐函数表示,点集合满足,那么在点处的曲面法线用梯度表示为
- 。
如果曲面在某点没有切平面,那么在该点就没有法线。例如,圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线,但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。
法线的唯一性
曲面法线的法向不具有唯一性(uniqueness),在相反方向的法线也是曲面法线。曲面在三維的邊界(topological boundary)內可以分區出inward-pointing normal 與 outer-pointing normal, 有助於定義出法線唯一方法(unique way)。定向曲面的法线通常按照右手定则来确定。
法线的变换
变换矩阵可以用来变换多边形,也可以变换多边形表面的切向量(tangent vector)。 設 n′ 為 W n。我們必須發現 W。
W n 垂直(perpendicular)於 M t
很明白的選定 W s.t. , 或 將可以滿足上列的方程式,按需求,再以 垂直於(perpendicular), 或一個 n′ 垂直於 t′。