大地水准面

1873年，利斯廷提出了大地水准面的经典定义，即大地水准面是与平均海水面相重合的重力等位面。[7]在1975年，美国大地测量学家理查德·拉普（英語：）进一步完善了这一定义，他将重力位 ${\displaystyle W}$ 视为除大气层外的地球质量所引起的重力位 ${\displaystyle W_{g}}$、大气质量所引起的重力位 ${\displaystyle W_{a}}$，以及受日、月的引潮力作用而引起的重力位 ${\displaystyle W_{t}}$的和：[17]

${\displaystyle W=W_{g}+W_{a}+W_{t}}$

不同于 ${\displaystyle W_{g}}$，后两项与地球内部的质量分布无关，因此可以被相对精确地计算。拉普认为，定义大地水准面的重力位应当仅包含 ${\displaystyle W_{g}}$和 ${\displaystyle W_{a}}$，即大地水准面应当是使 ${\displaystyle W_{g}+W_{a}}$ 等于常数的重力等位面，而因引潮力、风和洋流等其他因素影响产生的变化则不在考虑范围之内。这种定义方式认为，通过多年的验潮数据可以得到一个平均海水面，其上的任意一点的位置与海洋面的长期平均位置相重合。[18]

然而，20世纪60年代以来对平均海水面的研究发现，其与大地水准面间存在最大可达2米的系统性的偏移[19]，这就使大地水准面的经典定义暴露出了缺陷。因此，马瑟（英語：）等人在1978年提出，大地水准面应重新定义为与平均海水面最为密合的重力等位面。[20]

1985年，瑞典大地测量学家布耶哈马基于相对论重力提出了相对论大地水准面的概念，即一个使其上所有精密时钟的运行速率相同且与平均海水面最为密合的封闭曲面。[21]在2019年，德国不来梅大学的丹尼斯·菲利普（德語：）利用新的测量结果，以及无含时红移势能（英語：）等新的理论，对相对论大地水准面的概念给出了数学上的表述方法。这一方法给出的相对论水准面与经典大地水准面之间存在着毫米级的差异。[22]

大地水准面高在北大西洋、欧洲、非洲的西部和南部、印度洋西南部、安地斯山脈、西太平洋及赤道太平洋部分等地表现出正值[29][30]，世界上所有的大型地盾、显生宙地台和地质熱點几乎也都位于这些地区[31]。其中，分布较广而幅度较高的有两个区域，横跨了大西洋和非洲的正异常区域被称为大西洋-非洲大地水准面高值区（英語：），太平洋中西部的正异常区域则被称为赤道太平洋大地水准面高值区（英語：）。西太平洋的正异常区域在中生代早期曾是俯冲杂岩帶所处的位置。其他与俯冲带不相关的正异常区域则可能曾是大陆板块的聚集处，或是古板块的中心等会发生地幔绝热现象的地区。地幔的绝热会使得其本身的温度升高，其产生的抬升和岩浆作用能够产生大地水准面的正异常。[31]

大地水准面高在印度及印度洋北部，以及南极洲附近表现出负值。其中又以印度洋北部的区域表现得尤其显著，该区域也被称为印度洋大地水准面低值区（英語：）。[32]对于这些负异常形成的原因，存在有众多推测，如软流层中的浅层物质流[33]、板块俯冲在中地幔引起的地幔对流[34]，以及地幔和地核的边界处发生的凹陷[35]等。同时，这些推测也都同意，印度洋大地水准面低值区出现的部分原因是特提斯洋在中生代的俯冲带来的密度异常。[36]

乔治·斯托克斯在1849年提出的斯托克斯定理指出：[44]在大地水准面的外部没有质量分布的情况下，其形状和其外部的重力场可以由地球的质量、自转角速度以及大地水准面上的重力观测值唯一确定，而与其内部的质量分布无关。[23]^:17这一定理说明，大地水准面的形状可以通过地面上的重力观测数据确定。而利用斯托克斯方法确定大地水准面的形状，需要确定大地水准面高相对于参考椭球面的高程差（即大地水准面高）以及这一高程差在参考椭球面上的位置。[8]^:284这分别可以用斯托克斯公式和维宁·曼尼兹公式进行计算。

值得注意的是，实际上的重力观测数据是在地形表面，而非大地水准面上得到的。因此，在得到地表的观测数据后，还需要除去大地水准面外的质量对重力观测值的影响，并将地面上重力观测值的位置改正到大地水准面上，这一部分的内容又被称为重力归算。[8]^:264通过斯托克斯方法，可以求得较高精度的高程异常并随之确定相应的大地水准面高，常用于局部重力场模型的建立。[23]^:329

斯托克斯公式给出了大地水准面高与全球大地水准面上的重力异常及其分布的数学关系：[44]

${\displaystyle N={R \over 4\pi {\bar {\gamma }}}\iint \limits _{\sigma }\Delta g\,S(\psi )\operatorname {d} \!\sigma }$

上式中，${\displaystyle N}$ 是大地水准面高，${\displaystyle R}$ 是地球的平均半径[23]^:87，${\displaystyle {\bar {\gamma }}}$ 是全球正常重力的平均值。而对于积分部分，${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\iint \limits _{\sigma }\end{smallmatrix}}}$表示在整个单位球面上的积分，${\displaystyle \operatorname {d} \!\sigma }$ 是立体角元素。[23]^:89 ${\displaystyle \Delta g}$ 是单位角元素上的重力异常，由重力测量数据给出的重力位减去计算得到的正常重力位后得到。${\displaystyle S(\psi )}$ 则为斯托克斯函数[45]，该项是单位球面上的被计算点与重力异常观测值所在的角元素之间的夹角 ${\displaystyle \psi }$ 的函数。[23]^:94

在由斯托克斯公式求得大地水准面相对于参考椭球面的高程差后，还需通过垂线偏差改正，将大地水准面上的天文坐标转换成参考椭球面上的地理坐标。这项改正能够通过通过维宁·曼尼兹公式计算：[23]^:114

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}\xi \\\eta \end{Bmatrix}}={1 \over 4\pi {\bar {\gamma }}}\iint \limits _{\sigma }\Delta g\,{\begin{Bmatrix}\cos {\alpha }\\\sin {\alpha }\end{Bmatrix}}\,S(\psi )\operatorname {d} \!\sigma }$

上式中的 ${\displaystyle \xi }$ 表示天文坐标相对于地理坐标的纬度差， ${\displaystyle \eta }$ 表示天文坐标相对于地理坐标的经度差，${\displaystyle \alpha }$ 则是天文坐标相对于地理坐标的方位角。

利用引力位在质体外部满足拉普拉斯方程的特性[23]^:5，可以将其展开成球谐级数进行逼近，球谐级数中的各项系数由地球的各项物理性质确定。这些物理性质，如地球的扁率和重力的不规则性等，会对人造卫星在空间中的运动造成影响，即卫星轨道的摄动。因此通过对卫星轨道进行动力学分析，可以反演出地球的重力场模型。[46]^:149又由于人造卫星对重力场模型中的高阶项并不敏感[6]^:319，人造卫星主要用于获得重力场模型中的低阶项，而高阶项还需结合地面的重力观测数据等其他方式获得。[16]

通过求解球面坐标中的拉普拉斯方程 ${\displaystyle \Delta V=0}$ ，单位球外部（${\displaystyle r>1}$）的引力位可以展开为：[23]^:59

${\displaystyle V={\sum _{n=0}^{\infty }}{\sum _{m=0}^{n}}\left[A_{nm}{R_{nm}(\theta ,\lambda ) \over r^{n+1}}+B_{nm}{S_{nm}(\theta ,\lambda ) \over r^{n+1}}\right]}$

上式中各个量的含义如下：

• ${\displaystyle (r,\theta ,\lambda )}$是空间中某特定点的球坐标，${\displaystyle r\ }$是点的向径， ${\displaystyle \theta }$和 ${\displaystyle \lambda \ }$分别是点的极角和方位角

• ${\displaystyle A_{nm}}$ 和 ${\displaystyle B_{nm}}$ 是通过对单位球上的观测数据积分确定的待定系数

• ${\displaystyle R_{nm}(\theta ,\lambda )=P_{nm}(\cos \theta )\cos {m\lambda }}$，${\displaystyle S_{nm}(\theta ,\lambda )=P_{nm}(\cos \theta )\sin {m\lambda }}$，是与缔合勒让德多项式有关的面谐函数[23]^:29

上式中的向径 ${\displaystyle r}$ 是被计算点相对于单位球的相对半径，而非其相对于地心的真实距离。

在卫星动力学中，球谐级数常写成如下形式：[23]^:59

${\displaystyle V={GM \over r}\{{1-\sum _{n=1}^{\infty }}{\sum _{m=0}^{n}}{({a \over r})}^{n}\left[J_{nm}R_{nm}(\theta ,\lambda )+K_{nm}S_{nm}(\theta ,\lambda )\right]\}}$

上式中各个量的含义如下：

• ${\displaystyle (r,\theta ,\lambda )}$是空间中某特定点的球坐标，${\displaystyle r\ }$是空间中点的地心距离， ${\displaystyle \theta }$和 ${\displaystyle \lambda \ }$分别是点的地心纬度的余角和经度

• ${\displaystyle GM}$ 为重力场模型的地心引力常数
• ${\displaystyle J_{nm}}$和 ${\displaystyle K_{nm}}$ 是与地球动力学有关的参数，其与 ${\displaystyle A_{nm}}$ 和 ${\displaystyle B_{nm}}$ 的关系为

${\displaystyle {\begin{cases}A_{nm}=-GMa^{n}J_{nm}\\B_{nm}=-GMa^{n}K_{nm}\end{cases}}}$

在这一表达式中，参数 ${\displaystyle A_{nm}}$、${\displaystyle B_{nm}}$、${\displaystyle J_{nm}}$和 ${\displaystyle K_{nm}}$均由地球本身的特性决定，包含了地球的转动惯量和动力学形状等信息，是引力场模型中的待解参数。[23]^:61-63

大地水准面是通过重力场模型进行表达的，对全球的重力场进行描述的模型即为全球重力场模型。[47]在建立重力场模型的过程中，重力位 ${\displaystyle W}$ 被分成引力位 ${\displaystyle V}$ 和离心力位 ${\displaystyle \Phi }$ 两部分（即 ${\displaystyle W=V+\Phi }$）， 其中离心力位 ${\displaystyle \Phi }$ 能够根据地球的自转角速度 ${\displaystyle \omega }$ 和点在空间中的坐标 ${\displaystyle (x,y,z)}$ 直接计算得到：[23]^:47

${\displaystyle \Phi ={1 \over 2}{\omega }^{2}(x^{2}+y^{2})}$

引力场位的确定比离心力位的确定要复杂得多，引力场模型的建立是重力场模型建立过程中的主要部分。因此，在不严谨的表述中，有时也将引力场模型直接称为重力场模型。[47]

在引力场模型中，引力位 ${\displaystyle V}$ 在地球外部（${\displaystyle r>a}$）表达为如下形式：[48]

${\displaystyle V={\frac {GM}{r}}{\sum _{n=0}^{n_{\text{max}}}}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n}{\sum _{m=0}^{n}}{\overline {P}}_{nm}(\sin \phi )\left[{\overline {C}}_{nm}\cos m\lambda +{\overline {S}}_{nm}\sin m\lambda \right]}$

上式中的各个量的含义如下：

• ${\displaystyle (r,\phi ,\lambda )}$是空间中某特定点的球坐标，${\displaystyle r\ }$是点的地心距离， ${\displaystyle \phi \ }$和 ${\displaystyle \lambda \ }$分别是点的地心纬度和经度

• ${\displaystyle GM}$ 为重力场模型的地心引力常数
• ${\displaystyle n_{\text{max}}}$为该重力场模型的最大阶数

• ${\displaystyle a}$ 为地球（参考椭球体）的长半轴
• ${\displaystyle {\overline {P}}_{nm}}$ 是 ${\displaystyle n\ }$阶 ${\displaystyle m\ }$次的完全正规化缔合勒让德多项式
• ${\displaystyle {\overline {C}}_{nm}}$ 和 ${\displaystyle {\overline {S}}_{nm}}$ 是由测量数据确定的该重力场模型的完全正规化系数

其中，当 ${\displaystyle n=0}$ 时，${\displaystyle {\overline {P}}_{00}(\sin \phi )=1}$，${\displaystyle {\overline {C}}_{00}=1}$，则求和符号右侧所有项的和为 ${\displaystyle 1}$；当 ${\displaystyle n=1}$ 时，${\displaystyle {\overline {C}}_{1,m}={\overline {S}}_{1,m}=0}$，则求和符号右侧所有项的和为 ${\displaystyle 0}$. [48]因此，上式可进一步表达为如下形式：

${\displaystyle V={\frac {GM}{r}}\left(1+{\sum _{n=2}^{n_{\text{max}}}}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n}{\sum _{m=0}^{n}}{\overline {P}}_{nm}(\sin \phi )\left[{\overline {C}}_{nm}\cos m\lambda +{\overline {S}}_{nm}\sin m\lambda \right]\right)}$

在得到引力位 ${\displaystyle V}$ 和椭球面坐标为 ${\displaystyle (r,\phi ,\lambda )}$ 的关系后，再将其与离心力位模型 ${\displaystyle \Phi }$ 相加，即可得到重力位模型 ${\displaystyle W}$，最后得到表达为 ${\displaystyle W(r,\phi ,\lambda )=W_{0}}$的大地水准面的形状。[23]^:48 在实际的模型建立的过程中，也常取引力位中的数阶最大项作为正常重力场中的引力位，再将余下的引力位以扰动位的形式进行表达，而正常重力场中的等位面即为参考椭球面。[8]^:207-212

根据奈奎斯特采样定理，球谐函数表达式中的阶次越高，其表达的范围也就越精细。对于以球谐函数来表达的重力场模型，其空间分辨率通常以最短半波长表示。在地球表面，模型的空间分辨率 ${\displaystyle \psi _{\text{min}}}$ 与最大阶数 ${\displaystyle n_{\text{max}}}$ 的关系为：[47]

${\displaystyle \psi _{\text{min}}={\pi R \over n_{\text{max}}}\approx {20\,000\,{\text{km}} \over n_{\text{max}}}}$

其中的${\displaystyle R}$ 为地球的平均半径。通过这一公式，可以求出现有重力场模型常采用的空间分辨率：

在美国国家地理空间情报局（NGA）发布的EGM96模型中，${\displaystyle n_{\text{max}}=360}$，即该模型给出了最高完全阶次至360的重力场模型系数，其表达的大地水准面的分辨率可达55千米或110千米（取决于对分辨率定义的不同）。而在2009年，NGA又发布了最大阶数 ${\displaystyle n_{\text{max}}=2190}$，最高完全阶次为2159次的EGM08模型，其大地水准面的分辨率可达12千米，精度在全球范围内可达±15厘米。[49][12]

现有的地球重力场模型由国际地球重力场模型中心（ICGEM）负责收集和存档。[50]截至2020年，ICGEM存储的阶数超过2000阶的超高阶静态全球重力场模型有如下几个：

在大地测量学以外的领域，正高也被称为海拔高度。[23]^:172而在进行空间位置的计算（如计算GPS等全球卫星导航系统中的卫星位置）时，使用的高度则是相对于参考椭球面的距离，称为大地高或椭球高。两者间的转换需要通过大地水准面高进行：[55]

${\displaystyle h=H+N}$

其中，${\displaystyle h}$ 表示大地高（椭球高），${\displaystyle H}$ 表示正高，${\displaystyle N}$ 表示大地水准面高。

正高的计算需要用到重力平均值 ${\displaystyle g_{\text{m}}^{B}}$，但该值无法在地球内部的质量和重力分布未知的情况下得到，所以正高无法被精确求得。[8]^:3511945年，苏联大地测量学家莫洛坚斯基提出了利用正常高来代替正高的计算方式。[56]在这一高程系统中，由地球表面向下量取正常高而获得的表面被称为似大地水准面，由正常椭球面向上量取正常高而获得的表面则被称为似地形表面，而似大地水准面和正常椭球面之间的差距又被称为高程异常。[57]似大地水准面与水准面不同，它没有具体的物理意义，更不是重力等位面，只是用于计算的辅助面。[23]^:294大地水准面和似大地水准面在山区的差异可达4米，但两者在平均海水面上是重合的。[8]^:352

大地水准面重力位 ${\displaystyle W_{0}}$ 与高程基准相互对应，是人为规定的参考值。这一参考值应具有不随时间变化、长期固定，且与平均海水面的高度有明确关系的特征。[58]在2015年，国际大地测量协会（IAG）公布的大地水准面重力位参考值为${\displaystyle W_{0}=6.263\,685\,34\times 10^{7}\,{\text{m}}^{2}\cdot {\text{s}}^{-2}}$。[59][60]但在不同的区域高程系统中，其定义的高程系统仍可能对应出不同的大地水准面重力位值。以中国1985国家高程基准为例，其与全球平均大地水准面的差异为21到23厘米。[61]