挂谷集合

然后，在更高维度中，也可以問最小的贝西科维奇集合有多大。這個問題衍生了许多称为挂谷猜想的猜想，并且开拓了称为几何测量理论的数学领域。特别是，如果存在测度为零的贝西科维奇集，那么是否存在某些小于它们所处空间的维数的维度 s，使得該挂谷集具有 s 维豪斯多夫测度零？这个问题产生了以下猜想：

挂谷集合猜想：将Rⁿ中的贝西科维奇集合定义为一个包含每个方向的单位线段的集合。这样的集合的豪斯多夫维数和闵科夫斯基维数等于n.

已知这对于n = 1,2是正确的，但是在更高维度中仅知道部分结果。

解决这个问题的一种现代方法是考虑一种特殊类型的最大函数，我们将其构造如下：将 Sⁿ⁻¹ ⊂ Rⁿ 表示为n维空间中的单位球。定义

${\displaystyle T_{e}^{\delta }(a)}$为长度为1，半径δ> 0的圆柱体，以点 a ∈ Rⁿ为中心，其长边平行于单位矢量e ∈ Sⁿ⁻¹的方向。然后对于局部可积函数f，我们定义f的挂谷极大值函数

${\displaystyle f_{*}^{\delta }(e)=\sup _{a\in \mathbf {R} ^{n}}{\frac {1}{m(T_{e}^{\delta }(a))}}\int _{T_{e}^{\delta }(a)}|f(y)|dm(y)}$

其中m表示n维勒贝格度量。请注意${\displaystyle f_{*}^{\delta }}$定义为球体Sⁿ⁻中的向量e。

然后对这些函数进行猜想，如果猜想是真的，将推出更高维度的挂谷集猜想：

挂谷极大函数猜想：对于所有ε > 0，存在一个常数C_ε > 0，这样对于任何函数f和所有δ> 0，（参见符号的lp空间）

${\displaystyle \left\|f_{*}^{\delta }\right\|_{L^{n}(\mathbf {S} ^{n-1})}\leqslant C_{\epsilon }\delta ^{-\epsilon }\|f\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})}.}$

以下是一些有利于证明挂谷猜想的成果：

• 挂谷猜想在n = 1 (平凡地)和n = 2 (Davies[8])时成立。
• Wolff[9]表明在任何n维空间中，挂谷集的维数必须至少为（n + 2）/ 2。
• 2000年，Katz、Łaba和陶哲轩[10]证明挂谷集合的闵科夫斯基维数在维数为3时严格地大于5/2。
• 2000年，讓·布爾甘将挂谷问题与算术组合学联系起来，[11][12] 其中包括谐波分析和加法理论。
• 2002年，Katz和陶哲轩[13]将Wolff的限制范围缩小到了${\displaystyle (2-{\sqrt {2}})(n-4)+3}$，更适合n > 4的情况。
• 2017年，Katz和Zahl[14] 将3维中贝西科维奇集合的豪斯多夫维数的下限推进到${\displaystyle 5/2+\epsilon }$ 且确认常数${\displaystyle \epsilon >0}$。