控制变量法

假设要估计的参数为${\displaystyle \mu }$。同时对于统计${\displaystyle m}$，其期望值为${\displaystyle \mu }$：${\displaystyle \mathbb {E} \left[m\right]=\mu }$，即${\displaystyle m}$是${\displaystyle \mu }$的无偏差估计。此时，对于另一个统计${\displaystyle t}$，已知${\displaystyle \mathbb {E} \left[t\right]=\tau }$。于是，

${\displaystyle m^{\star }=m+c\left(t-\tau \right)\,}$

也是${\displaystyle \mu }$的无偏差估计，${\displaystyle c}$为任一给定系数。${\displaystyle m^{\star }}$的方差为

${\displaystyle {\textrm {Var}}\left(m^{\star }\right)={\textrm {Var}}\left(m\right)+c^{2}\,{\textrm {Var}}\left(t\right)+2c\,{\textrm {Cov}}\left(m,t\right);}$

可以证明，使得方差最小的系数${\displaystyle c}$为

${\displaystyle c^{\star }=-{\frac {{\textrm {Cov}}\left(m,t\right)}{{\textrm {Var}}\left(t\right)}};}$

此时，对应的方差则为

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textrm {Var}}\left(m^{\star }\right)&={\textrm {Var}}\left(m\right)-{\frac {\left[{\textrm {Cov}}\left(m,t\right)\right]^{2}}{{\textrm {Var}}\left(t\right)}}\\&=\left(1-\rho _{m,t}^{2}\right){\textrm {Var}}\left(m\right);\end{aligned}}}$

其中

${\displaystyle \rho _{m,t}={\textrm {Corr}}\left(m,t\right)\,}$

为${\displaystyle m}$与${\displaystyle t}$之间的相关系数。${\displaystyle \vert \rho _{m,t}\vert }$越大时，方差越小。

当${\displaystyle {\textrm {Cov}}\left(m,t\right)}$、${\displaystyle {\textrm {Var}}\left(t\right)}$或${\displaystyle \rho _{m,t}\;}$未知时，可以通过蒙特卡洛模拟进行估计。由于该方法相当于一个最小二乘法系统，又被称为回归抽样（）。

假设我们要使用蒙特卡洛方法估计

${\displaystyle I=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\,\mathrm {d} x,}$

即估计

${\displaystyle f(U)={\frac {1}{1+U}}}$

的期望值。其中，${\displaystyle U}$满足均匀分布。假设有n个样本${\displaystyle u_{1},\cdots ,u_{n}}$，该估计可表示为

${\displaystyle I\approx {\frac {1}{n}}\sum _{i}f(u_{i});}$

此时，我们引入控制变量${\displaystyle g(U)=1+U}$，其已知期望值为${\displaystyle \mathbb {E} \left[g\left(U\right)\right]=\int _{0}^{1}(1+x)\,\mathrm {d} x={\tfrac {3}{2}}}$。由此，可以得到新的估计

${\displaystyle I\approx {\frac {1}{n}}\sum _{i}f(u_{i})+c\left({\frac {1}{n}}\sum _{i}g(u_{i})-3/2\right).}$

以下为${\displaystyle n=1500}$并使用估计的最优系数${\displaystyle c^{\star }\approx 0.4773}$时，一次蒙特卡洛模拟所给出的积分估计值：

• Ross, Sheldon M. (2002) Simulation 3rd edition ISBN 978-0-12-598053-1
• Averill M. Law & W. David Kelton (2000), Simulation Modeling and Analysis, 3rd edition. ISBN 0-07-116537-1
• S. P. Meyn (2007) Control Techniques for Complex Networks, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88441-9. Downloadable draft (Section 11.4: Control variates and shadow functions)