数字滤波器

参见：IIR滤波器、FIR滤波器、滤波器设计

線性非時變的数字滤波器包括无限长脉冲响应滤波器（IIR滤波器）和有限长脉冲响应滤波器（FIR滤波器）两种。这两种滤波器的系统函数可以统一以Z变换表示为：

${\displaystyle H(z)={\frac {B(z)}{A(z)}}={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots +b_{N}z^{-N}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+\cdots +a_{M}z^{-M}}}}$

当${\displaystyle M\geq 1}$时，M就是IIR滤波器的阶数，表示系统中反馈环的个数。由于反馈的存在，IIR滤波器的脉冲响应为无限长，因此得名。若${\displaystyle A(z)=1}$，则系统的脉冲响应的长度为N+1，故而被称作FIR滤波器。

• IIR濾波器的優缺點

IIR滤波器的优点在于，其设计可以直接利用模拟滤波器设计的成果，因为類比濾波器本身就是无限长脈衝响应的。換句話說，若是有一個類比濾波器，可以很直接地設計出IIR濾波器。

通常IIR滤波器设计的过程如下：首先根据滤波器参数要求设计对应的模拟滤波器（如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器等等），然后通过映射（如脉冲响应不变法、双线性映射等等）将模拟滤波器变换为数字滤波器，从而决定IIR滤波器的参数。

IIR滤波器的重大缺点在于，由于存在反馈其稳定性不能得到保证。另外，反馈还使IIR滤波器的数字运算可能溢出，即Z轉換後極點有可能超出單位圓之外。

• FIR濾波器的優缺點

FIR滤波器最重要的优点就是由于其脈衝響應之長度有限，輸入有限長度訊號輸出的也會是有限長度，Z轉換後全部極點都在單位圓內，相較於IIR是一個穩定的系統。

FIR滤波器还确保了线性相位，这在信号处理中也非常重要。

此外，由于不需要反馈，在FIR滤波器中要做最佳化(optimize)也比IIR滤波器简单。

FIR滤波器的缺点在于相較於可以直接取樣類比濾波器設計的IIR濾波器來說設計較為不易。

此外它的性能不如同样阶数的IIR滤波器，不过由于数字计算硬件的飞速发展，这一点已经不成为问题。再加上引入计算机辅助设计，FIR滤波器的设计也得到极大的简化。基于上述原因，FIR滤波器比IIR滤波器的应用更广。

数字滤波器的另外一种形式是状态空间模型。状态空间滤波器的一个典型例子是Rudolf Kalman在1960年提出的卡尔曼滤波器。