星形多邊形

在幾何學中，星形多邊形是一種外觀有數個向外凸起的非凸多邊形。目前幾何學上尚未有一個廣泛被接受的星形多邊形定義，目前較常見的定義為存在頂點不和相鄰頂點連接的多邊形[1][2]，或者從一般多邊形透過截角或延長邊並使其相交所形成的形狀[3]。目前有被從多個角度進行研究的星形多邊形只有星形正多邊形。數學家布蘭科·格倫鮑姆指出了兩種由克卜勒提出的定義：一種是具有自相交稜的星形正多邊形，且自相交的稜不產生新的頂點，另一種是等邊的簡單凹多邊形[5]。

兩種星形多邊形

{5/2}
|5/2|
正五角星{5/2}是一種星形多邊形，有五個頂點和互相相交的邊，其可以對應到一個凹十邊形|5/2|。

小星形十二面體
鑲嵌

命名

星形多邊形一般有許多向外突出的角，一般依照其向外突出之角的數量命名，如五角星，部分文獻將之稱為一個芒，整體形狀以芒數命名，如五芒星[6]與六芒星[7]。

簡單等邊星形多邊形

若一星形多邊形是一個簡單多邊形或邊不相交的多邊形，則該星形多邊形不可能為星形正多邊形，因為若將星形正多邊形的相交邊移除，則其不再正多邊形，但可以形成等邊多邊形。這類等邊多邊形通常由2個落在半徑不同的圓上之頂點交錯連接構成。數學家布蘭科·格倫鮑姆在其著作《Tilings and Patterns》中將這類多邊形以符號表示由星形多邊形移除相交線段後構成的星形多邊形，例如星形多邊形移除位於內部的線段後的結果計為或表達一個內角度的n角星[5]。

簡單等邊星形多邊形
|n/d|
{nα}		  
{330°}		  
{630°}		 5/2|
{536°}		  
{445°}		 |8/3|
{845°}		 |6/2|
{660°}		  
{572°}
α 30° 36° 45° 60° 72°
β 150° 90° 72° 135° 90° 120° 144°
等邊星形多邊形
對應的星形正多邊形
{12/5}
{5/2}
{8/3}
2{3}
星形圖
{10/3}

星形正多邊形

{5/2}
{7/2}
{7/3}...
主条目：星形正多邊形

星形正多邊形包括五角星和八角星等等，n角星的施萊夫利符號為{n/m}，其中m是小於n/2且和n互質的正整數。托馬斯·布拉德華是最早系統性地對星形正多邊形的研究的學者，後來约翰内斯·开普勒也做了類似的研究。[8]

參見

參考文獻
  1. (PDF). fzk.ed.shizuoka.ac.jp. [2019-11-11]. （原始内容存档 (PDF)于2019-11-11）.
  2. 志凌資訊 劉緻儀. . 碁峰資訊股份有限公司. 2014. ISBN 9789863473107.
  3. . shuxuele.com. [2019-11-11]. （原始内容存档于2019-11-11）.
  4. Grünbaum, B., G.C. Shephard; Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1
  5. Grünbaum & Shephard 1987,[4] section 2.5
  6. 高柳茜. . milive.jp. [2019-11-11]. （原始内容存档于2019-11-11）.
  7. . 東森新聞雲. 2019-02-12.
  8. Coxeter, Introduction to Geometry, second edition, 2.8 Star polygons p.36-38
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