有限群表示論
基本定義
此條目中的所有線性變換都是有限維的，且除了有另外提起外，都假定為複數。G的表示是一個群同構 ρ:G → GL(n,C)，由 G 至一般線性群 GL(n,C) 的映射。因此，要選定一個表示，則只要將群內的每個元素配定一個方陣，其中方陣的相乘和群元素間的運算會是一樣的。
若矩陣是實數的，則稱 ρ 是 G 的一個實表示。換句話說， ρ(G) ⊂ GL(n,R)。
另一種公式化
表示 ρ: G → GL(n,C) 定義了 G 在向量空間 Cn 上的群作用，而且此一作用也可以完全決定 ρ 。因此，要選定一個表示，選定在表示的向量空間上的作用即已足夠。
換言之，群 G 在複向量空間 V 上的作用可以推導出群代數 C[G] 在向量空間 V 上的左作用，反之亦然。因此，表示會等價於左 C[G]-模。
群代數 C[G]是一個在複數上，以 G 作用的 |G| 維代數。（參見彼德-外爾定理中緊緻群的例子。）而實際上， C[G]是 G×G 的一個表示。更具體地來說，若 g1 跟 g2 是 G 的元素，且 h 是 C[G] 中相對應至 G 的 h 的一個元素，則
- (g1,g2)[h]=g1 h g2-1。
C[G] 也可以以三種方式來做為 G 的表示：
- 共軛： g[h] = g h g-1
- 左作用： g[h] = g h（正則表示）
- 右作用： g[h] = h g-1（同上）
這些都可以在 G×G 作用中被「找到」。
例子
對許多的群而言，用矩陣來表示完全是一件很自然的事情。例如，一個二面體群 D4 － 正方形的對稱，即可以兩個鏡射矩陣的表示來產生：
這裡， m 是由 (x,y) 映射至 (− x,y) 的鏡射，而 n 則是由 (x,y) 映射至 (y,x) 的鏡射。這些矩陣的相乘一共可以產生構成此群的八個矩陣。如上所述，可以以矩陣來表示，或者也可以以在二維向量空間 (x,y) 上的作用來表示。
此一表示是「真實的」－亦即，在矩陣和群的元素之間是一對一對應的，因為不存在在群作用下不變的 (x,y) 的子空間。
表示間的態射
特徵理論
另見
- 實表示
- 對稱群表示理論Representation theory of the symmetric group
- 舒爾正交關係
- 德林-勒斯泰格理論
參考文獻
- Fulton, William; and Harris, Joe. . New York: Springer. 1991. ISBN 978-0-387-97495-8. The standard graduate level reference for representations of groups in general.
- James, Gordon; and Liebeck, Martin. . Cambridge: Cambridge University Press. 1993. ISBN 978-0-521-44590-0. A beautiful and readable introduction; designed for self study.
- Jean-Pierre, Serre. . Springer-Verlag. 1977. ISBN 978-0-387-90190-9. A very well-written introduction to stated topic: concise and extremely readable.