朗伯W函数
朗伯W函数(英語:,又称为欧米加函数或乘积对数),是f(w) = wew的反函数,其中ew是指数函数,w是任意复数。对于任何复数z,都有:
![](../I/Lambertw.png.webp)
由于函数f不是单射,因此函数W是多值的(除了0以外)。如果我们把x限制为实数,并要求w是实数,那么函数仅对于x ≥ −1/e有定义,在(−1/e, 0)内是多值的;如果加上w ≥ −1的限制,则定义了一个单值函数W0(x)(见图)。我们有W0(0) = 0,W0(−1/e) = −1。而在[−1/e, 0)内的w ≤ −1分支,则记为W−1(x),从W−1(−1/e) = −1递减为W−1(0−) = −∞。
朗伯W函数不能用初等函数来表示。它在组合数学中有许多用途,例如树的计算。它可以用来解许多含有指数的方程,也出现在某些微分方程的解中,例如y'(t) = a y(t − 1)。
- 复平面上的朗伯W函数
微分和积分
朗伯 函数的积分形式为
若 ,若
把被积函数的实部和虚部分离出来:
设 ,则有 ,展开分离出实部和虚部,
,当时,易知
若 ,上式还可化为
- ,
因此:
- ,
函数,以及许多含有的表达式,都可以用的变量代换来积分,也就是说
其中為欧米加常数。
加法定理
複數值
實部
- ,
虛部
- ,
模長
模角
- ,
共軛值
- ,
应用
许多含有指数的方程都可以用函数来解出。一般的方法是把未知数都移到方程的一侧,并设法化为的形式。
例子
- 例子1
更一般地,以下的方程
其中
两边同乘: ,
得到:
同除以:,
得到:
同除:,
可以用变量代换
令
化为
即:
同乘:
得出
故
带入
为
因此最终的解为
若辅助方程:中,
- ,
辅助方程无实数解,原方程亦无实解;
若:,
辅助方程有一实数解,原方程有一实解:
若: ,
辅助方程有二实解,设为,
,
为
- 例子2
用类似的方法,可知以下方程的解
为
或
- 例子3
以下方程的解
具有形式
- 例子4
- : :
取对数,
取倒数,
最终解为 :
- 例子5
两边开次方并除以得
令 ,
化为
两边同乘
,
最终得
一般化
標準的 Lambert W 函數可用來表示以下超越代數方程式的解:
其中 a0, c 與 r 為實常數。
其解為
- 一項在低維空間內廣義相對論與量子力學的應用(量子引力),實際上一種以前未知的 連結 於此二區域中,如 “Journal of Classical and Quantum Gravity”[4] 所示其 (1) 的右邊式現為二維多項式 x:
- 其中 r1 和 r2 是不同實常數,為二維多項式的根。於此函數解有單一引數 x 但 ri 和 ao 為函數的參數。如此一來,此一般式類似於 “hypergeometric”(超几何分布)函數與 “Meijer G“,但屬於不同類函數。當 r1 = r2,(2)的兩方可分解為 (1) 因此其解簡化為標準 W 函數。(2)式代表著 “dilaton”(軸子)場的方程,可據此推導線性,雙體重力問題 1+1 維(一空間維與一時間維)當兩不等(靜止)質量,以及,量子力學的特徵能Delta位勢阱給不等電位於一維空間。
- 其中 ri 與 si 是相異實常數而 x 是特徵能和內核距離R之函數。式 (3) 與其特例表示於 (1) 和 (2) 是與一更大類型延遲微分方程。由于哈代的“虚假导数”概念,多根的特殊情况得以解决[6]。
Lambert "W" 函數於基礎物理問題之應用並未完全即使標準情況如 (1) 最近在原子,分子,與光學物理領域可見。[7]
图象
- 朗伯W函数在复平面上的图像
- z = Re(W0(x + i y))
- z = Im(W0(x + i y))
参考来源
- T.C. Scott and R.B. Mann, General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 17, no. 1, (April 2006), pp.41-47, ; Arxiv
- T.C. Scott, G. Fee and J. Grotendorst, "Asymptotic series of Generalized Lambert W Function", SIGSAM, vol. 47, no. 3, (September 2013), pp. 75-83
- T.C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst and W.Z. Zhang, "Numerics of the Generalized Lambert W Function", SIGSAM, vol. 48, no. 2, (June 2014), pp. 42-56
- P.S. Farrugia, R.B. Mann, and T.C. Scott, N-body Gravity and the Schrödinger Equation, Class. Quantum Grav. vol. 24, (2007), pp. 4647-4659, ; Arxiv
- T.C. Scott, M. Aubert-Frécon and J. Grotendorst, New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion, Chem. Phys. vol. 324, (2006), pp. 323-338, ; Arxiv
- Aude Maignan, T.C. Scott, "Fleshing out the Generalized Lambert W Function", SIGSAM, vol. 50, no. 2, (June 2016), pp. 45-60
- T.C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini and J.D. Morgan III, The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions, Phys. Rev. A 75, (2007), p. 060101,