单射
在數學裡,單射函數(或稱嵌射函數[1]、一對一函數,英文稱 injection、injective function或 one-to-one function)為一函數,其將不同的輸入值對應到不同的函數值上。更精確地說,函數f被稱為是單射的,當對每一陪域內的y,存在最多一個定義域內的x使得f(x) = y。
由從X 映射至Y 的單射函數所組成的集合標記為YX,該符號的由來為下降階乘冪。當X 及Y 分別為具有m 個及n 個元素的有限集合時,從X 映射至Y 的單射函數數量可以以下降階乘冪表示為nm。
定義
令f 為一函數,且其定義域為一集合X,若且唯若對所有於X 內的元素a 及b,當f(a) = f(b)時,a = b,則該函數為單射函數;等價地說,當a ≠ b時,f(a) ≠ f(b)。
以邏輯符號表示如下:
依換質換位律,該敘述邏輯等價於
例子與反例
- 對任一集合X,X上的恆等函數為單射的。
- 函數f : R → R,其定義為f(x) = 2x + 1,是單射的。
- 函數g : R → R,其定義為g(x) = x2,不是單射的,因為g(1) = 1 = g(−1)。但若將g的定義域限在非負實數[0,+∞)內,則g是單射的。
- 指數函數是單射的。
- 自然對數函數是單射的。
- 函數,不是單射的,因為 g(0) = g(1)。
形象化地說,當定義域和到達域都是實數集 R時,單射函數f : R → R為一絕不會與任一水平線相交超過一點的圖。
單射函數為反函數
具左反函數的函數一定是單射函數。亦即,給定一函數f : X → Y,若存在一函數g : Y → X,使得對每個X 內的元素x,
- g(f(x)) = x
則f 為單射函數。
相反地,每個具非空定義域的單射函數f 都會有個左反函數g(該敘述需用到選擇公理,這在大多數的數學領域裡均成立[2])。須注意的是,g 不一定會是f 的反函數,因為相反順序的函數複合f ∘ g 不一定也會是Y 上的恆等函數。
事實上,要將一單射函數f : X → Y變成雙射函數,只需要將其陪域Y替換成其值域J = f(X)就行了。亦即,令g : X → J,使其對所有X內的x,g(x) = f(x);如此g便為滿射的了。確實,f可以分解成inclJ,Yog,其中inclJ,Y是由J到Y的內含映射。
其他性質
- 若f和g皆為單射的,則f o g亦為單射的。
- 若g o f為單射的,則f為單射的(但g不必然要是)。
- f : X → Y是單射的若且唯若當給定兩函數g, h : W → X會使得f o g = f o h時,則g = h。
- 若f : X → Y為單射的且A為X的子集,則f −1(f(A)) = A。
- 若f : X → Y是單射的且A和B皆為X的子集,則f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)。
- 任一函數 h : W → Y 皆可分解為 h = f o g 其中 f 是單射而 g 是滿射。此分解至多差一個自然同構, f 可以設想為從 h(W) 到 Y 的內含映射。
- 若 f : X → Y 是單射,則在基數的意義下 Y 的元素數量不少於 X。
- 若 X 與 Y 皆為有限集,則 f : X → Y 是單射若且唯若它是滿射。
- 內含映射總是單射。
參考資料
- injection - 嵌射;單射,國家教育研究院雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網
- 當選擇公理不成立時,每個具非空定義域的單射函數不一定都能有個左反函數。舉例來說,在構造主義數學裡,從具兩個元素的集合映射至實數的內含映射{0,1} → R 便無法具有左反函數,因為連續統在構造主義數學裡無法被劃分成兩塊非空集合。
參考文獻
- Bartle, Robert G., 2nd, New York: John Wiley & Sons, 1976, ISBN 978-0-471-05464-1, p. 17 ff.
- Halmos, Paul R., , New York: Springer, 1974, ISBN 978-0-387-90092-6, p. 38 ff.
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