根值审敛法

根值审敛法（Root test）是判别正项级数敛散性的一种方法，又叫做柯西判别法。方法是分析第 $n$ 项的绝对值的 $n$ 次方的上极限与1的大小关系。

定理

设 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 是要判断审敛性的级数，令

C={\overline {\lim _{n\rightarrow \infty }}}{\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }}=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }},

当 $\,C<1\,$ 时级数绝对收敛（当然同时也收敛）
当 $\,C>1\,$ 或 $\,C=\infty \,$ 时级数发散
当 $\,C=1\,$ 时级数可能收敛也可能发散[1]。

证明：

当 $\,C<1\,$ 时，取 $\,q\in (C,1)$ ，由上极限的定义， $\left\{{\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }}\right\}\,$ 应当有收敛于 $\,C\,$ 的子列 $\,\left\{{\sqrt[{n_{k}}]{\left\vert a_{n_{k}}\right\vert }}\right\}\,$ ，由极限的保序性， $\,\exists N\in \mathbb {N}$ ，使 $\,n>N\,$ 时， ${\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }}<q\,$ （否则，总可以取出极限不比 $\,q\,$ 小的子列，和 $\,C\,$ 的定义矛盾）。因而， $n>N\,$ 时，有 $\,\left\vert a_{n}\right\vert <q^{n}\,$ ，又因为 $\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}q^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }q{\frac {1-q^{n}}{1-q}}={\frac {q}{1-q}}\,$ 是收敛的，由比较审敛法， $\,\sum _{n=1}^{\infty }\left\vert a_{n}\right\vert \,$ 收敛，即 $\,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,$ 绝对收敛。
当 $\,C>1\,$ 或 $\,C=\infty \,$ 时，取子列 $\,\left\{{\sqrt[{n_{k}}]{\left\vert a_{n_{k}}\right\vert }}\right\}\,$ ，从而 $\,\exists K\in \mathbb {N} \,$ ，使得 $\,k>K\,$ 时， $\,\left\vert a_{n_{k}}\right\vert >{\sqrt[{n_{k}}]{a_{n_{k}}}}>1$ 。这意味着 $\,\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}\neq 0\,$ ，根据通项极限判别法，级数 $\,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,$ 是发散的。
例： ${\overline {\lim _{n\rightarrow \infty }}}{\sqrt[{n}]{\frac {1}{n}}}={\overline {\lim _{n\rightarrow \infty }}}{\sqrt[{n}]{\frac {1}{n^{2}}}}=1\,$ ，但 $\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,$ 发散，而 $\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,$ 。

参见

B.A.卓里奇. 第四版. 高等教育出版社. : 86. ISBN 978-7-04-018302-3.

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[1] B.A.卓里奇. 第四版. 高等教育出版社. : 86. ISBN 978-7-04-018302-3.