極限 (數列)

若數列${\displaystyle \left\{{x_{n}}\right\}}$的極限存在，則極限是唯一的。[1]^:29

证明

設數列${\displaystyle \{x_{n}\}}$有兩個不相等的極限值${\displaystyle a,\ b}$,則對任意的${\displaystyle \epsilon >0}$,存在${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$，使得 ${\displaystyle m,n>N}$ 時，恆有 ${\displaystyle |x_{n}-a|<{\frac {\epsilon }{2}},\quad |x_{n}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}}$ ，則接下來考慮 :

$${\displaystyle |a-b|=|(a-x_{n})-(b-x_{n})|\leq |a-x_{n}|+|b-x_{n}|<\epsilon }$$

因此${\displaystyle a=b}$，故極限唯一。[1]^:29

若數列${\displaystyle \{x_{n}\}}$有極限，則${\displaystyle \{x_{n}\}}$有界，即 ${\displaystyle \exists M>0,\forall n\in \mathbb {N} ,|x_{n}|\leq M}$ 。

[1]^:29-30

證明

因為 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L}$，所以對於${\displaystyle \varepsilon =1}$，${\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} }$，使得 ${\displaystyle \forall n>N,|x_{n}-L|<\varepsilon =1}$

從而有 ${\displaystyle |x_{n}|=|(x_{n}-L)+L|\leq |x_{n}-L|+|L|<1+|L|}$

令 ${\displaystyle M=\max(|x_{1}|,\ |x_{2}|,\cdots ,\ |x_{N}|,\ 1+|L|)}$

於是 ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,|x_{n}|\leq M}$

即${\displaystyle \{x_{n}\}}$有界。

注意有界數列不一定有極限，如數列 ${\displaystyle 1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ {\frac {1-(-1)^{n}}{2}},\cdots }$ 是一個有界數列，但沒有極限。

但是當數列有界，存在一個遞增或是遞減的子數列的話，則可以證明，數列存在極限。

我們也可以根據定理二來作推論，如果一個數列無界，則知道這個數列一定發散。[1]^:30

若${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a,\lim _{n\to \infty }y_{n}=b}$

且${\displaystyle a>b}$，則^:30 ${\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} ,\forall n>N,x_{n}>y_{n}}$

[1]

證明：

已知

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b}$$

且${\displaystyle a>b}$。取

$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {a-b}{2}}>0}$$

由極限定義知：${\displaystyle \exists N_{1}\in \mathbb {N} ,\forall n>N_{1}}$，有

$${\displaystyle |x_{n}-a|<{\frac {a-b}{2}}}$$

從而

$${\displaystyle x_{n}>a-{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}}$$

${\displaystyle \exists N_{2}\in \mathbb {N} ,\forall n>N_{2}}$，有

$${\displaystyle |y_{n}-b|<{\frac {a-b}{2}}}$$

从而

$${\displaystyle y_{n}<b+{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}}$$

所以當${\displaystyle n>N=\max(N_{1},\ N_{2})}$時，有

$${\displaystyle y_{n}<{\frac {a+b}{2}}<x_{n}}$$

即[1]^:30-31

$${\displaystyle x_{n}>y_{n}}$$