根資料
在數學的代數群領域中,根資料(原文為法文donnée radicielle)是一個連通、分裂、可簡約代數群的不變量。對於可簡約代數群,根資料是比根系更精細的不變量,若假設連通性,則它決定了代數群的結構(至多差一個同構)。根資料的定義首見於M. Demazure在SGA III中的闡述,於1970年出版。
定義
根資料是一組資料,其中:
- 是有限秩自由阿貝爾群,其間有一個配對使兩者互為對偶。
- 是的有限子集,是的有限子集,並存在其間的雙射。
- 對任意,有。
- 對任意,根鏡射導出根資料的自同構(換言之:它將一一映至,而在上導出的對偶映射則將一一映至)。
- 類似地,對任意,餘根鏡射導出根資料的自同構。
的元素稱作該根資料的根,的元素稱為餘根。
若不包含任意根的兩倍,則稱此根資料為既約的。
設。若,稱此根資料為半單的,
從根資料到根系
對於根資料,取為在中生成的子群,並設;利用對偶性,同樣可定義。可證明,在中的指數為有限的;因此可視為的對偶空間。可證明成為一個根系。
與約化代數群的關係
設是域上的約化代數群,並具有在上分裂的極大環面。定義相應的根資料為
- (極大環面的特徵標)
- (極大環面的餘特徵標,或者說是其中的單參數子群)
- 是資料的根。
- 是相應的餘根。
代數封閉域上的連通、約化代數群由其根資料決定。反之,給定任一組根資料,存在與之匹配的連通、約化代數群。根資料比根系及丹金圖精確,因為它不僅刻劃了群的李代數結構,還刻劃了群的中心。
文獻
- M. Demazure, Exp. XXI in SGA 3 vol 3 页面存档备份,存于
- T. A. Springer, Reductive groups,in Automorphic forms, representations, and L-functions vol 1 ISBN 0-8218-3347-2
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