歐拉長方體

最小的歐拉長方體的邊長為240, 117, 44，面對角線為267, 125, 244，是Paul Halcke在1719年發現的。

歐拉長方體指邊長和對角線都是整數的長方體。

a^{2}+b^{2}=d^{2}

b^{2}+c^{2}=e^{2}

c^{2}+a^{2}=f^{2}

例子

邊長 63000 以內的 (a,b,c) 滿足 a<b<c, gcd(a,b,c)=1

第一組：(44,117,240) -- (125,267,244)

第二組：(85, 132, 720) — (157, 725, 732);

第三組：(140, 480, 693) — (500, 707, 843);

第四組：(160, 231, 792) — (281, 808, 825);

第五組：(187, 1020, 1584) — (1037, 1595, 1884);

第六組：(195, 748, 6336) — (773, 6339, 6380);

第七組：(240, 252, 275) — (348, 365, 373);

第八組：(308,819,1680) -- (875,1869,1708)

第九組：(429, 880, 2340) — (979, 2379, 2500);

第十組：(495, 4888, 8160) — (4913, 8175, 9512);

第十一組：(528, 5796, 6325) — (5820, 6347, 8579) ;

第十二組：(828,2035,3120)--(2197,3228,3725)

第十三組：(1008,1100,1155) -- (1492,1595,1533)

第十四組：(10296,11753,16800)--(15625,19704,20503)

第十五組：(15939,18460,48720)--(24389,51261,52100)

第十六組：(27755,42372,62160)--(50653,68075,75228)

第十七組：(42471,54280,59040)--(68921,72729,80200)

其中第十四組：(10296,11753,16800) —(15625,19704,20503)

之體對角線長為22942.9864...最接近正整數

完美長方體

完美長方體，又稱「完美盒」，是體對角線也是整數的歐拉長方體。求完美長方體的邊長，即在上面三條丟番圖方程再加上一條： $a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2}$ 。截至2015年5月，還沒有找到任何完美盒。經由電腦搜尋顯示，若存在完美長方體，其中一個邊長需大於3·10¹²[1][2]，且最小邊長需大於10¹⁰[3]。現時只找到一些接近完美盒，例如其中一邊是無理數，其他邊和對角線均為整數的例子。

但在2009年發現了數十個完美平行六面體的例子。[4]

另見

黃金矩形

外部連結

Weisstein, Eric W. "Euler Brick." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
Durango Bill The “Integer Brick” Problem (The Euler Brick Problem)
Fred Curtis Primitive Euler Bricks

Durango Bill. The “Integer Brick” Problem
埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
Randall Rathbun, Perfect Cuboid search to 1e10 completed - none found. NMBRTHRY maillist, November 28, 2010.
Sawyer, Jorge F.; Reiter, Clifford A. . Mathematics of Computation. 2011, 80: 1037–1040. arXiv:0907.0220. doi:10.1090/s0025-5718-2010-02400-7..

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[1] Durango Bill. The “Integer Brick” Problem

[2] 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.

[3] Randall Rathbun, Perfect Cuboid search to 1e10 completed - none found. NMBRTHRY maillist, November 28, 2010.

[4] Sawyer, Jorge F.; Reiter, Clifford A. . Mathematics of Computation. 2011, 80: 1037–1040. arXiv:0907.0220. doi:10.1090/s0025-5718-2010-02400-7..