正则化 (数学)

在数学与计算机科学中，尤其是在机器学习和逆问题领域中，正则化（英语：regularization）是指为解决适定性问题或过拟合而加入额外信息的过程。[1]

在机器学习和逆问题的优化过程中，正则项往往被加在目标函数当中。

概述

概括来讲，机器学习的训练过程，就是要找到一个足够好的函数 $F^{*}$ 用以在新的数据上进行推理。[2]为了定义什么是「好」，人们引入了损失函数的概念。一般地，对于样本 $({\vec {x}},y)$ 和模型 $F$ ，有预测值 ${\hat {y}}=F({\vec {x}})$ 。损失函数是定义在 $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 上的二元函数 $\ell (y,{\hat {y}})$ ，用来描述基准真相和模型预测值之间的差距。一般来说，损失函数是一个有下确界的函数；当基准真相和模型预测值足够接近，损失函数的值也会接近该下确界。

因此，机器学习的训练过程可以被转化为训练集 ${\mathcal {D}}$ 上的最小化问题。我们的目标是在泛函空间内，找到使得全局损失 $L(F)=\sum _{i\in {\mathcal {D}}}\ell (y_{i},{\hat {y}}_{i})$ 最小的模型 $F^{*}$ 。

$F^{*}:=\mathop {\text{arg min}} _{F}L(F).$

由于损失函数只考虑在训练集上的经验风险，这种做法可能会导致过拟合。为了对抗过拟合，我们需要向损失函数中加入描述模型复杂程度的正则项 $\Omega (F)$ ，将经验风险最小化问题转化为结构风险最小化。

$F^{*}:=\mathop {\text{arg min}} _{F}{\text{Obj}}(F)=\mathop {\text{arg min}} _{F}{\bigl (}L(F)+\gamma \Omega (F){\bigr )},\qquad \gamma >0.$

这里， ${\text{Obj}}(F)$ 称为目标函数，它描述模型的结构风险； $L(F)$ 是训练集上的损失函数； $\Omega (F)$ 是正则项，描述模型的复杂程度； $\gamma$ 是用于控制正则项重要程度的参数。正则项通常包括对光滑度及向量空间内范数上界的限制。[3] $L_{p}$ -范数是一种常见的正则项。

在贝叶斯学派的观点看来，正则项是在模型训练过程中引入了某种模型参数的先验分布。

$L_{p}$ -正则项

所谓范数即是抽象之长度，通常意义上满足长度的三种性质：非负性、齐次性和三角不等式。

以函数的观点来看，范数是定义在 $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ 的函数；并且它和损失函数类似，也具有下确界。后一性质是由范数的非负性和齐次性保证的[4]。这一特性使得 $L_{p}$ -范数天然适合做正则项，因为目标函数仍可用梯度下降等方式求解最优化问题。 $L_{p}$ -范数作为正则项时被称为 $L_{p}$ -正则项。

$L_{0}$ 和 $L_{1}$ -正则项

机器学习模型当中的参数，可形式化地组成参数向量，记为 ${\vec {\omega }}$ 。不失一般性，以线性模型为例：

$F({\vec {x}};{\vec {\omega }}):={\vec {\omega }}^{\intercal }\cdot {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}\cdot x_{i}.$

由于训练集当中统计噪声的存在，冗余的特征可能成为过拟合的一种来源。这是因为，对于统计噪声，模型无法从有效特征当中提取信息进行拟合，故而会转向冗余特征。为了对抗此类过拟合现象，人们会希望让尽可能多的 $\omega _{i}$ 为零。为此，最直观地，可以引入 $L_{0}$ -正则项

$\Omega {\bigl (}F({\vec {x}};{\vec {\omega }}){\bigr )}:=\gamma _{0}{\frac {\lVert {\vec {\omega }}\rVert _{0}}{n}},\;\gamma _{0}>0.$

通过引入 $L_{0}$ -正则项，人们实际上是向优化过程引入了一种惩罚机制：当优化算法希望增加模型复杂度（此处特指将原来为零的参数 $\omega _{i}$ 更新为非零的情形）以降低模型的经验风险（即降低全局损失）时，在结构风险上进行大小为 ${\tfrac {\gamma _{0}}{n}}$ 的惩罚。于是，当增加模型复杂度在经验风险上的收益不足 ${\tfrac {\gamma _{0}}{n}}$ 时，整个结构风险实际上会增大而非减小。因此优化算法会拒绝此类更新。

引入 $L_{0}$ -正则项可使模型参数稀疏化，以及使得模型易于解释。但 $L_{0}$ -正则项也有无法避免的问题：非连续、非凸、不可微。因此，在引入 $L_{0}$ -正则项的目标函数上做最优化求解，是一个无法在多项式时间内完成的问题。于是，人们转而考虑 $L_{0}$ -范数的最紧凸放松—— $L_{1}$ -范数，令

$\Omega {\bigl (}F({\vec {x}};{\vec {\omega }}){\bigr )}:=\gamma _{1}{\frac {\lVert {\vec {\omega }}\rVert _{1}}{n}},\;\gamma _{1}>0.$

和引入 $L_{0}$ -正则项的情况类似，引入 $L_{1}$ -正则项是在结构风险上进行大小为 ${\tfrac {\gamma _{1}|\omega _{i}|}{n}}$ 的惩罚，以达到稀疏化的目的。

$L_{1}$ -正则项亦称LASSO-正则项。[5][6]

$L_{2}$ -正则项

图中左侧是训练集，右侧是验证集。训练集和验证集数据均是由线性函数加上一定的随机扰动生成的。图中橙色直线是以线性模型拟合训练集数据得到模型的函数曲线；绿色虚线则是以15-阶多项式模型拟合训练数据得到模型的函数曲线。由此可見，儘管多项式模型在训练集上的误差小于线性模型，但在验证机上的误差则显著大于线性模型。此外，多项式模型为了拟合噪声点，在噪声点附近进行了高曲率的弯折。这说明多项式模型过拟合了训练集数据。

在发生过拟合时，模型的函数曲线往往会发生剧烈的弯折，这意味着模型函数在局部的切线之斜率非常高。一般地，函数的曲率是函数参数的线性组合或非线性组合。为了对抗此类过拟合，人们会希望使得这些参数的值相对稠密且均匀地集中在零附近。于是，人们引入了 $L_{2}$ -范数，作为 $L_{2}$ -正则项。令

$\Omega {\bigl (}F({\vec {x}};{\vec {w}}){\bigr )}:=\gamma _{2}{\frac {\lVert {\vec {\omega }}\rVert _{2}^{2}}{2n}},\;\gamma _{2}>0,$

于是有目标函数

${\text{Obj}}(F)=L(F)+\gamma _{2}{\frac {\lVert {\vec {\omega }}\rVert _{2}^{2}}{2n}},$

於是對於參數 $\omega _{i}$ 取偏微分

${\frac {\partial {\text{Obj}}}{\partial \omega _{i}}}={\frac {\partial L}{\partial \omega _{i}}}+{\frac {\gamma _{2}}{n}}\omega _{i}.$

因此，在梯度下降时，参数 $\omega _{i}$ 的更新

$\omega '_{i}\gets \omega _{i}-\eta {\frac {\partial L}{\partial \omega _{i}}}-\eta {\frac {\gamma _{2}}{n}}\omega _{i}={\Bigl (}1-\eta {\frac {\gamma _{2}}{n}}{\Bigr )}\omega _{i}-\eta {\frac {\partial L}{\partial \omega _{i}}}.$

注意到 $\eta {\tfrac {\gamma _{2}}{n}}$ 通常是介于 $(0,\,1)$ 之间的数[7]， $L_{2}$ -正则项会使得参数接近零，从而对抗过拟合。

$L_{2}$ -正则项又称Tikhonov-正则项或Ringe-正则项。

提前停止

提前停止可看做是时间维度上的正则化。直觉上，随着迭代次数的增加，如梯度下降这样的训练算法倾向于学习愈加复杂的模型。在实践维度上进行正则化有助于控制模型复杂度，提升泛化能力。在实践中，提前停止一般是在训练集上进行训练，而后在统计上独立的验证集上进行评估；当模型在验证集上的性能不在提升时，就提前停止训练。最后，可在测试集上对模型性能做最后测试。

参考文献

Bühlmann, Peter; Van De Geer, Sara. . Springer Series in Statistics: 9. 2011. ISBN 978-3-642-20191-2. doi:10.1007/978-3-642-20192-9. If p > n, the ordinary least squares estimator is not unique and will heavily overfit the data. Thus, a form of complexity regularization will be necessary.
Ron Kohavi; Foster Provost. . Machine Learning. 1998, 30: 271–274.
Bishop, Christopher M. Corr. printing. New York: Springer. 2007. ISBN 978-0387310732.
范数的非负性保证了范数有下界。当齐次性等式 $\lVert c\cdot {\vec {x}}\rVert =|c|\cdot \lVert {\vec {x}}\rVert$ 中的 $c$ 取零时可知，零向量的范数是零，这保证了范数有下确界。
Santosa, Fadil; Symes, William W. . SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing (SIAM). 1986, 7 (4): 1307–1330. doi:10.1137/0907087.
Tibshirani, Robert. . Journal of the Royal Statistical Society. Series B (methodological) (Wiley). 1996, 58 (1): 267–88. JSTOR 2346178.
可通过恰当地调整学习率 $\eta$ 与正则系数 $\gamma _{2}$ 来满足这一点。

外部链接

谈谈 $L_{1}$ 与 $L_{2}$ -正则项（中文）

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[1] Bühlmann, Peter; Van De Geer, Sara. . Springer Series in Statistics: 9. 2011. ISBN 978-3-642-20191-2. doi:10.1007/978-3-642-20192-9. If p > n, the ordinary least squares estimator is not unique and will heavily overfit the data. Thus, a form of complexity regularization will be necessary.

[2] Ron Kohavi; Foster Provost. . Machine Learning. 1998, 30: 271–274.

[book:prml-3] Bishop, Christopher M. Corr. printing. New York: Springer. 2007. ISBN 978-0387310732.

[4] 范数的非负性保证了范数有下界。当齐次性等式 $\lVert c\cdot {\vec {x}}\rVert =|c|\cdot \lVert {\vec {x}}\rVert$ 中的 $c$ 取零时可知，零向量的范数是零，这保证了范数有下确界。

[5] Santosa, Fadil; Symes, William W. . SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing (SIAM). 1986, 7 (4): 1307–1330. doi:10.1137/0907087.

[Tibshirani_1996-6] Tibshirani, Robert. . Journal of the Royal Statistical Society. Series B (methodological) (Wiley). 1996, 58 (1): 267–88. JSTOR 2346178.

[7] 可通过恰当地调整学习率 $\eta$ 与正则系数 $\gamma _{2}$ 来满足这一点。