泛包絡代數

以下固定域 ${\displaystyle K}$。首先注意到：對任意帶乘法單位元的 ${\displaystyle K}$-結合代數 ${\displaystyle U}$，定義括積 ${\displaystyle [a,b]:=ab-ba}$，可視 ${\displaystyle U}$ 為李代數。

泛包絡代數係指帶單位元的結合代數 ${\displaystyle U(L)}$ 及一個指定的李代數同態 ${\displaystyle i:L\to L(U)}$。這對資料由下述泛性質刻劃：

對任意帶乘法單位元的 ${\displaystyle K}$-結合代數 ${\displaystyle A}$， 若存在李代數同態

${\displaystyle h:L\to A}$。

則存在唯一的代數同態

${\displaystyle g:U(L)\to A}$

使之滿足

${\displaystyle g\circ i=h}$

換言之，函子 ${\displaystyle L\mapsto U(L)}$ 滿足下述關係：

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mbox{Alg.}}(U(L),A){\stackrel {\sim }{\to }}\mathrm {Hom} _{\mbox{Lie alg.}}(L,A)}$

${\displaystyle g\mapsto g\circ i}$

藉此，可視 ${\displaystyle U(-)}$ 為 ${\displaystyle U}$（單位結合代數）${\displaystyle \mapsto U}$（李代數）的左伴隨函子。

首先考慮張量代數 ${\displaystyle T(L)}$，此時有自然的包含映射 ${\displaystyle i_{0}:L\to T(L)}$。取 ${\displaystyle I\subset T(L)}$ 為下列元素生成的雙邊理想

${\displaystyle a\otimes b-b\otimes a-[a,b]\quad (a,b\in L)}$

定義

${\displaystyle U(L):=T(L)/I}$

所求的映射 ${\displaystyle i:L\to U(L)}$ 為 ${\displaystyle i_{0}:L\to T(L)}$ 與商映射的合成。容易驗證 ${\displaystyle i}$ 保存李括積。

根據上述構造，可直接驗證所求的泛性質。

• 若 ${\displaystyle L}$ 可交換，則 ${\displaystyle U(L)}$ 亦然；此時 ${\displaystyle U(L)}$ 同構於多項式代數。
• 若 ${\displaystyle L}$ 來自李群 ${\displaystyle G}$，則 ${\displaystyle U(L)}$ 可理解為 ${\displaystyle G}$ 上的左不變微分算子。
• ${\displaystyle U(L)}$ 的中心 ${\displaystyle Z(U(L))}$ 顯然包含 ${\displaystyle i(Z(L))}$，但不僅如此，通常還包括更高階的元素，例如喀希米爾元素；這種元素給出李群上的拉普拉斯算子。

庞加莱-伯克霍夫-维特定理是泛包絡代數的根本定理之一。取定有限維李代數 ${\displaystyle L}$ 的基 ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$，此定理斷言

${\displaystyle X_{1}^{e_{1}}\cdots X_{n}^{e_{n}}\quad (e_{1},\ldots ,e_{n}\in \mathbb {Z} _{\geq 0})}$

是 ${\displaystyle U(L)}$ 的基。此定理的直接推論是：${\displaystyle i:L\to U(L)}$ 為單射。

在泛性質中取 ${\displaystyle A=\mathrm {End} (V)}$，其中 ${\displaystyle V}$ 為任意向量空間，遂可等同 ${\displaystyle L}$ 的表示與 ${\displaystyle U(L)}$ 的表示，後者不外是 ${\displaystyle U(L)}$-模。藉此觀點，李代數表示理論可視為模論的一支。

群代數之於群表示一如泛包絡代數之於李代數的表示。兩者都具有霍普夫代數結構。

• Dixmier, Jacques, Enveloping algebras. Revised reprint of the 1977 translation. Graduate Studies in Mathematics, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xx+379 pp. ISBN 0-8218-0560-6