泛性质
在数学的很多分支,经常用“在给定某些条件下存在唯一态射”这种形式的性质来定义一些构造。这种性质统称为泛性质(英語:),有时也称为万有性。范畴论研究泛性质。
了解泛性质最好先研究一些例子。如:群积、直和、自由群、积拓扑、斯通-切赫紧致、张量积、反极限、直极限、核与上核、拉回、推出、等子等。
定义
设U : D → C为一函子,X为C的对象。从X到U的泛态射为偶(A, φ),其中A为D的对象,φ : X → U(A)为C中满足如下泛性质的态射:
- 对任意D的对象Y和任意C的态射f : X → U(Y),存在唯一的态射g : A → Y使得下图可交换:
态射g的存在保证A具有足够的性质,其唯一性又限制A不再有额外的性质。
使用对偶原则可得上述的对偶概念:从U到X的泛态射为偶(A, φ),其中A为D的对象,φ : U(A) → X为C的态射,满足如下泛性质:
- 对任意D的对象Y和任意C的态射f : U(Y) → X,存在唯一的态射g : Y → A使得下图可交换:
注:有时后者也称为上泛态射。
性质
存在性和唯一性
具有泛性质的构造不一定存在。给定上述函子U和对象X,从X到U(或从U到X)的泛态射不一定存在。然而,若其存在,则该构造在同构下唯一。也就是说,若(A′, φ′)为另一个满足该条件的泛态射,则存在唯一的同构态射g : A → A′满足φ′ = U(g)φ。用(A′, φ′)代替定义中的(Y, f)易知该结论成立。
其它等价定义
泛态射可通过其它途径定义。设U为从D到C的函子,X为C的对象,则下列语句等价:
其对偶语句也同样等价:
与伴随函子的关系
设(A1, φ1)为从X1到U的泛态射,(A2, φ2)为从X2到U的泛态射。根据泛性质,对任意态射h : X1 → X2,存在唯一态射g : A1 → A2使得下图可交换:
若对任意C的对象Xi存在到U的泛态射,则映射Xi Ai和h g确定一个函子 V : C → D。此时,φi确定从1C(C上的恒等函子)到U V的一个自然变换。因此(V, U)构成一对伴随函子,V左伴随U,U右伴随V。
利用对偶原则同样可得U的右伴随函子V : C → D。
事实上,所有的伴随函子都产生与类似的泛构造。设F和G为一对伴随函子,单位元为&eta,上单位元为&epsilon(定义见伴随函子)。任意C和D的对象存在泛态射。
- 对任意C的对象X,(F(X), ηX)为从X到G的泛态射。即,对任意f : X → G(Y),存在唯一g : F(X) → Y使得下图可交换。
- 对任意D的对象Y,(G(Y), εY)为从F到Y的泛态射。即,对任意g : F(X) → Y,存在唯一f : X → G(Y)使得下图可交换。
泛构造的概念广于伴随函子:泛构造类似优化问题,伴随函子存在当且仅当该优化问题对任何C的对象(或对任何D的对象)均存在解。
举例
张量代数
设C为域K上的向量空间范畴 K-Vect,D为K上的代数范畴(假定满足unitall和结合律),U为将代数映射为所基向量空间的遗忘函子。
给定任何基于K的向量空间V,构造V的张量代数T(V)。此张量代数的泛性质体现为偶(T(V), i)(其中i : V → T(V)为一inclusion map)是从V到U的泛态射。
由于此方法适用于任何V,因此T为从K-Vect到K-Alg的函子,且为U的左伴随。
核
设D为一存在零态射的范畴(如群范畴),f : X → Y为D的一态射。f的核为满足下列条件的任意态射k : K → X:
- f k为从K到Y的零态射;
- 对任意态射k′ : K′ → X,若f k′为零态射,则存在唯一态射u : K′ → K满足k u = k′。
为理解上述同泛态射的关系,定义D中态射的范畴C,对象为D的所有态射f : X → Y,从f : X → Y到g : S → T的态射为一对态射α : X → S和β : Y → T构成的偶(α, β),满足βf = fα。
定义函子F : D → C,映射对象K到零态射0KK : K → K,映射态射r : K → L到偶(r, r)。
给定D的态射f : X → Y(看作C的对象)及D的对象K。从F(K)到f的态射为偶(k, l)满足f k = l 0KK = 0KY(此即为上述核的泛性质)。可以看出,“从F到f的泛态射”即为核的泛性质。
用途
使用泛性质定义构造有如下优点:
- 泛性质定义的对象在同构下唯一,因此证明两个对象同构的一个方法是找出其同时满足的泛性质。
- 定义某构造的具体细节一般较为繁琐,利用泛性质可不考虑这些细节,证明往往变得简洁明了。
- 如果泛构造对任何对象都存在时可确定一个函子。
- 更进一步,该函子为U的伴随函子。此时可以利用右伴随和极限可交换(左伴随和上极限可交换)的性质。
参考文献
- Cohen, Paul M., Universal Algebra (1981), D.Reidel Publishing, Holland. ISBN 90-277-1213-1.
- Mac Lane, Saunders, Categories for the Working Mathematician 2nd ed. (1998), Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.