范畴论

研究範疇就是試圖以「公理化」的方法抓住在各種相關連的「數學結構」中的共同特性，並以結構間的「結構保持函數」將這些結構相關起來。因此，對範疇論系統化的研究將允許任何一個此類數學結構的普遍結論由範疇的公理中證出。

考慮下面的例子：由群組成的類Grp 包含了所有具有「群結構」的物件。要證明有關群的定理，即可由此套公理進行邏輯的推導。例如，由公理中可立即證明出，群的單位元素是唯一的。

不是只專注在有特定結構的個別物件（如群）上，範疇論會著重在這些物件的態射（結構保持映射）上；經由研究這些態射，可以學到更多關於這些物件的結構。以群為例，其態射為群同態。兩個群間的群同態會嚴格地「保持群的結構」，這是個以將一個群中有關結構的訊息運到另一個群的方法，使這個群可以看做是另一個群的「過程」。因此，對群同態的研究提供了一個得以研究群的普遍特性及群公理的推論的工具。

類似的研究也出現在其他許多的數學理論中，如在拓撲學中對拓撲空間的連續映射的研究（相關範疇稱為Top），及對流形的光滑函數的研究等。

范畴、函子和自然变换是由塞缪尔·艾伦伯格和桑德斯·麦克兰恩在1945年引进的。这些概念最初出现在拓扑学，尤其是代数拓扑学里，在同态（具有几何直观）转化成同调论（公理化方法）的过程中起了重要作用。乌拉姆说，在1930年代的后期，波兰学派中曾出现类似的想法。

艾伦堡和麦克兰说，他们的目的在于理解自然映射；为此，必须定义函子；为了定义函子，就自然地要引进范畴。

同调代数由于计算上的需要而使用范畴论，这对范畴论起到了推进作用；此后范畴论又在代数几何的公理化过程中得到发展。代数几何与罗素-怀特海德的关于数学统一性基础的观点相抵触。广义范畴论随后产生，且更容纳了语意灵活性和高阶逻辑等多种新特征的泛代数，现在被运用到数学的所有分支。

特殊范畴拓扑斯甚至可以代替公理集合论作为数学的基础。然而范畴论对这些范围广泛的基础应用还是有争议的；但作为构造性数学的基础或注释，范畴论被研究的相当透彻。尽管如此，公理集合论至今仍然是数学家们的通用语言，并没有被范畴论的注释所取代。将范畴论引入大学程度的教学（在《伯克霍夫-麦克兰》和《麦克兰-伯克霍夫》这两本抽象代数的教科书的区别上可以印证）还是遭到了相当的反对。

范畴逻辑是直觉逻辑中类型论的一个被明确定义的分支，在计算机学科的函数式编程和域理论中均有应用，并且都是在笛卡尔闭范畴中对λ演算的非句法性描述。至少，用范畴论可以精确地描述在这些相关的领域里什么是共同的（在抽象的意义上）。

一个“范畴” ${\displaystyle C}$ 是由如下3個數學實體所組成的：

1. 一個類 ${\displaystyle \mathrm {ob} (C)}$，其元素稱為「物件」；
2. 一個類 ${\displaystyle \mathrm {hom} (C)}$，其元素稱為「態射」或「箭號」。每個態射 ${\displaystyle f}$ 都只有一個「源物件」 ${\displaystyle a}$ 及一個「目標物件」 ${\displaystyle b}$（其中 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 都在 ${\displaystyle \mathrm {ob} (C)}$ 內），稱之為「從 ${\displaystyle a}$ 至 ${\displaystyle b}$ 的態射」，標記為 ${\displaystyle f:a\to b}$。
   所有從 ${\displaystyle a}$ 至 ${\displaystyle b}$ 的態射所組成的類稱之為「態射類」，標記為 ${\displaystyle \mathrm {hom} (a,b)}$、 ${\displaystyle \mathrm {hom} _{C}(a,b)}$或 ${\displaystyle \mathrm {mor} (a,b)}$。
3. 一個二元運算，稱為「態射複合」，使得對任意三個物件 ${\displaystyle a}$、 ${\displaystyle b}$ 及 ${\displaystyle c}$，都會有 ${\displaystyle \circ$ :\mathrm {hom} (b,c)\times \mathrm {hom} (a,b)\to \mathrm {hom} (a,c)} 。兩個態射 ${\displaystyle f:a\to b}$ 及 ${\displaystyle g:b\to c}$ 的複合寫做 ${\displaystyle g\circ f}$ 或 ${\displaystyle gf}$[1]，並會符合下列兩個公理：
   • 結合律：若 ${\displaystyle f:a\to b}$、 ${\displaystyle g:b\to c}$及 ${\displaystyle h:c\to d}$，則 ${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$；
   • 單位元：對任意物件 ${\displaystyle x}$，總存在一個態射 ${\displaystyle 1_{x}:x\to x}$（稱為 ${\displaystyle x}$ 的單位態射），使得對每個態射 ${\displaystyle f:a\to b}$，都會有 ${\displaystyle 1_{b}\circ f=f=f\circ 1_{a}}$。

由以上公理可證得，每個物件都只存在一個單位态射。有些作者将物件本身用單位态射来定义，这在本质上是相同的。

如果对象的类确实是个集合，那么这种范畴就被称为“小范畴”。许多重要的范畴不是小范畴。

范畴中的态射有时又称为“箭號”，这种叫法来自于交换图。

函子是范畴之间保持结构的映射。它们可以被看成以所有（小）范畴为成员的范畴中的态射。

一个从范畴${\displaystyle C}$到范畴${\displaystyle D}$的（协变）函子${\displaystyle F}$被定义为：

• 对${\displaystyle C}$中任意对象${\displaystyle X}$，都有一个${\displaystyle D}$中相应的对象${\displaystyle F(X)}$与其对应；
• 对${\displaystyle C}$中任意态射 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$，都有一个${\displaystyle D}$中相应的态射${\displaystyle F(f):F(X)\rightarrow F(Y)}$与其对应；

并使下列性质成立：

• 对${\displaystyle C}$中任意的对象${\displaystyle X}$，都有${\displaystyle F(\mathrm {id} _{x})=\mathrm {id} _{F(X)}}$。
• 对${\displaystyle C}$中任意两个态射${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$和${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}$，都有 ${\displaystyle F(g\cdot f)=F(g)\cdot F(f)}$。

一个从范畴${\displaystyle C}$到范畴${\displaystyle D}$的反变函子${\displaystyle F}$不同于函子的地方仅在于将${\displaystyle D}$中的映射箭头倒过来。比如说${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$是${\displaystyle C}$中任一态射，则有${\displaystyle F(f):F(Y)\rightarrow F(X)}$。定义反变函子的最简捷的方法是作为${\displaystyle C}$的反范畴${\displaystyle C^{op}}$到${\displaystyle D}$上的函子。

有关函子的具体例子和性质请详见函子条目。

详细请见自然变换条目。

一个“自然变换”是两个函子之间的一个关系。函子通常用来描述“自然构造”，而自然变换则用来描述两个构造之间的“自然同态”。有时候，两个截然不同的构造具有“相同的”结果；这正可以用两个函子之间的自然关系来表述。

运用范畴论的语言，许多数学研究领域都可以归结成一些恰当的范畴，例如所有集合的范畴，所有群的范畴，所有拓扑的范畴，等等。这些范畴里的确有一些“特殊的”对象，例如空集或者两个拓扑的直积。然而，在范畴的定义里，对象是原子性的，那就是说，我们无法知道一个对象到底是集合，是拓扑，还是其它抽象概念。有必要定义特殊对象而不涉及对象的内在结构，这是一个挑战。那么到底怎样不用元素而定义空集，不用开集而定义拓扑积呢？

解决这个问题的途径是借用对象和对象之间的关系，而这些关系由相应范畴中的态射给出。现在问题转化为寻找泛性质，这些泛性质可以唯一地决定我们所感兴趣的对象。事实上，为数众多的重要结构都可用纯范畴论的方法来描述。在定义泛性质时，我们要用到一个非常关键的概念：范畴性“极限”和其“上极限”。

人们很自然地要问，在什么样的情形下，两个范畴“在本质上是相同”的，换一句话来说，对其中一个范畴成立的定理，可以既定地转换成另一个范畴的定理。用来描述这种情形的主要方法是“范畴的等价性”，由函子给出。范畴的等价性在数学中有很多的应用。

范畴和函子的定义只是范畴代数中最基本的部分。除此之外的重要部分如下列所述。基本上是以阅读顺序排列，尽管它们彼此之间有着内在的联系。

• 函子范畴 ${\displaystyle D^{C}}$以从${\displaystyle C}$到${\displaystyle D}$的函子为对象，以这些函子间的自然映射为泛射。米田引理刻划了函子范畴中可表示的函子，是范畴论最著名的基本结果之一。
• 对偶原则：范畴论中，每一陈述，定理，或定义都有其“对偶”，实质上可以通过“反转所有箭头”来得到。如果一个陈述在范畴${\displaystyle C}$中成立，那么它的对偶将在其对偶范畴${\displaystyle C^{op}}$中成立。这一对偶性在范畴论的任何层次都是普适的，由于它经常不是很清晰，对偶性的应用可以揭示惊人的关联性。
• 伴随函子：两个映射方向相反的函子对称为伴随函子，随着结合的顺序不同，分别为左伴随和右伴随。通常来自于由泛性质所定义的结构；也可以作为泛性质的一种更加抽象和更加强有力的看法。

• 在许多范畴中，态射集合${\displaystyle \mathrm {Mor} (A,B)}$不仅仅是集合，实际上是阿贝尔群，态射的复合具有群结构，也就是说是双线性的。这种范畴被称为预加性的。如果这种范畴还具有所有有限的积和上积，则称为加性范畴。如果所有具有一个核和一个上核，那么所有满射都是上核，所有单射都是核，我们称此为阿贝尔范畴。阿贝尔范畴的一个典型的例子是阿贝尔群所组成的范畴。
• 一个范畴被称为是完备的，如果所有极限存在。集合，阿贝尔群和拓扑空间的范畴是完备的。
• 一个范畴被称为是笛卡儿闭性的，如果它具有有限直积，并且一个定义在有限乘积上的态射总是可以表示成定义在其中一个因子上的态射。
• 一个拓扑斯是一种特殊的笛卡儿闭范畴，在其中可表述（公理化）所有的数学结构（就象传统上使用集合论可以表示所有数学结构）。一个拓扑斯也可以用来表述一个逻辑理论。
• 一个群胚是这样一种范畴，其中每一个映射都是一个同构。群胚是群、群作用和等价关系的推广。

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• "Category Theory" in Stanford Encyclopedia of Philosophy
• Homepage of the Categories mailing list，具有详尽的参考资料列表
• Category Theory section of Alexandre Stefanov's list of free online mathematics resources