渐近分析

渐近分析（asymptotic analysis、asymptotics），在数学分析中是一种描述函数在极限附近的行为的方法。有多个科学领域应用此方法。例子如下：

最简单的例子如下：考虑一个函数 $f(n)$ ，我们需要了解当 $n$ 变得非常大的时候 $f(n)$ 的性质。

令 $f(n)=n^{2}+3n$ ，在 $n$ 特别大的时候，第二项 $3n$ 比起第一项 $n^{2}$ 要小很多。

于是对于这个函数，有如下断言：「 $f(n)$ 在 $n\rightarrow \infty$ 的情况下与 $n^{2}$ 渐近等价」，记作 $f(n)\sim n^{2}$ 。

渐近等价

定义：给定关于自然数 $n$ 的复函数 $f$ 和 $g$ ，

命题 $f(n)\sim g(n){\mbox{ }}(n\rightarrow \infty )$ 表明（使用小o符号）

$f(n)=g(n)+o(g(n)){\mbox{ }}(n\rightarrow \infty )$

或（等价记法）

$f(n)=(1+o(1))g(n){\mbox{ }}(n\rightarrow \infty )$ 。

这说明，对所有正常数 $\epsilon$ ，存在常量 $N$ ，使得对于所有的 $n\geqslant N$ 有

$|f(n)-g(n)|\leqslant \epsilon |g(n)|$ 。

当 $g(n)$ 不是0或者趋于无穷大时，该命题可等价记作

$\lim _{n{\rightarrow }\infty }{\frac {f(n)}{g(n)}}=1$ 。

渐近等价是一个关于 $n$ 的函数的集合上的等价关系。非正式地，函数 $f$ 的等价类包含所有在极限情况下近似等于 $f$ 的函数 $g$ 。

函数 $f(x)$ 的渐近展开是它的一种级数展开。这种展开的部分和未必收敛，但每一个部分和都表示 $f(x)$ 的一个渐近表示式。例子：斯特灵公式。

J. P. Boyd, "The Devil's Invention: asymptotic, superasymptotic and hyperasymptotic series", Acta Applicandae Mathematicae, 56: 1-98 (1999). Preprint.

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