渐近分析
渐近分析(asymptotic analysis、asymptotics),在数学分析中是一种描述函数在极限附近的行为的方法。有多个科学领域应用此方法。例子如下:
最简单的例子如下:考虑一个函数,我们需要了解当变得非常大的时候的性质。
令,在特别大的时候,第二项比起第一项要小很多。
于是对于这个函数,有如下断言:「在的情况下与渐近等价」,记作。
渐近等价
定义:给定关于自然数的复函数和,
命题表明(使用小o符号)
或(等价记法)
。
这说明,对所有正常数,存在常量,使得对于所有的有
。
当不是0或者趋于无穷大时,该命题可等价记作
。
渐近等价是一个关于的函数的集合上的等价关系。非正式地,函数的等价类包含所有在极限情况下近似等于的函数。
渐近展开
函数的渐近展开是它的一种级数展开。这种展开的部分和未必收敛,但每一个部分和都表示的一个渐近表示式。例子:斯特灵公式。
相關條目
- 漸近運算複雜度
- 漸近理論
參考注釋
外部連結
- J. P. Boyd, "The Devil's Invention: asymptotic, superasymptotic and hyperasymptotic series", Acta Applicandae Mathematicae, 56: 1-98 (1999). Preprint.
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