渐近线

当任意曲线上一点 $M$ 沿曲线无限远离原点时，如果 $M$ 到一条直线（或另外一条曲线）的距离无限趋近于零，那么这条直线（曲线）称为这条曲线的渐近线。數學上的定義則是：若函數 $y=f\left(x\right)$ 的圖形收斂，則漸近線為 $y=\lim _{x\to \infty }f\left(x\right)$ 。

例解

例如，直线 $y={\frac {b}{a}}x$ 是双曲线 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ 的渐近线，因为双曲线上的点 $M$ 到直线 $y={\frac {b}{a}}x$ 的距离 $MQ<MN$ ；当 $MN$ 无限趋近于0时， $MQ$ 也无限趋近于0。所以按照定义，直线 $y={\frac {b}{a}}x$ 是该双曲线的渐近线。同理，直线 $y=-{\frac {b}{a}}x$ 也是该双曲线的渐近线。

对于 $F\left(x,y\right)=0$ 来说，如果当 $x\rightarrow a$ 时，有 $y\rightarrow \pm \infty$ (左右極限不一定相等)，就把 $x=a$ 叫做 $F\left(x,y\right)=0$ 的垂直渐近线；如果当 $x\rightarrow \infty$ 时，有 $y\rightarrow b$ ，就把 $y=b$ 叫做 $F\left(x,y\right)=0$ 的水平渐近线。例如， $y=3$ 是曲线 $xy=3x+2$ 的水平渐近线。

求法

依据

求渐近线，可以依据以下结论：

若极限 $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=a$ 存在，且极限 $\lim _{x\to +\infty }\left[f\left(x\right)-ax\right]=b$ 也存在，那么曲线 $y=f\left(x\right)$ 具有渐近线 $y=ax+b$ 。

例子

例：求 $y={\frac {x^{2}}{1+x}}$ 的渐近线。

解：(1) $x=-1$ 为其垂直渐近线。

(2) $\lim _{x\to \infty }{\frac {f\left(x\right)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{1+x}}$ ，即 $a=1$ ；

$\lim _{x\to \infty }\left[f\left(x\right)-ax\right]=\lim _{x\to \infty }{\frac {-x}{1+x}}=-1$ ，即 $b=-1$ ；

所以 $y=x-1$ 也是其渐近线。

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