渗流理论
渗流理论(英語:)是数学和统计物理领域中研究随机图上簇的性质的一套理论。举例来说,假设有一多孔材料,求问液体能否从顶端贯穿该材料直至到达底部。渗流理论将此抽象成以下数学问题:建立一有n × n × n个顶点的三维网格模型,相邻顶点的边有p的概率是连接的,或者说有(1-p)的概率是不连接的,每条边连接与否相互独立。渗流理论的基本问题是,当n很大以至于体系可以近似为无限网格时,求问至少存在一条贯穿整个网格的路径(称为渗流)对应的p的范围。这一p的下界,pc,称为渗流阈值。该问题由布罗德本特和汉默斯利于1957年提出,[1]其后相关问题被广泛研究。
上述问题称为边渗流或键渗流(英語:),是渗流理论两种主要的渗流形式之一。另外一种是点渗流(英語:),与边渗流不同的是,每个顶点有p的概率是“占有”的;相应有(1-p)的概率是“空缺”的,如果相邻两个顶点皆属于占有则它们之间是连接的。而问题相同:求给定p值时,整个图是否渗流。
渗流阈值
根据零一律,一个无限的随机图是否渗流的概率要么为0,要么为1,处于这一转折的临界概率称为渗流阈值,记作pc。少数简单模型的渗流阈值有精确的解析解。例如,一维点阵的边渗流和点渗流阈值均为pc=1,这个解是平凡的;[2]二维方格的渗流阈值曽困扰物理学界20年,直到1980年代由哈里·凯斯滕给出完整证明,其边渗流阈值是1/2(参见Kesten (1982))。[3]另一种已知精确解的特殊情况是贝特晶格(该模型的每一个顶点有z个近邻顶点,如此延伸,没有回路),。
以下给出d维简单立方模型的渗流阈值数据:
d | 配位数z | 点渗流 | 边渗流 |
---|---|---|---|
2 | 4 | 0.59274601(2)[4] | 1/2 |
3 | 6 | 0.3116077(4)[5] | 0.2488126(5)[6] |
4 | 8 | 0.1968861(14),[7]0.19688561(3)[8] | 0.1601314(13),[7] 0.16013122(6)[8] |
5 | 10 | 0.1407966(15),[7] 0.14079633(4)[8] | 0.118172(1),[7] 0.11817145(3)[8] |
6 | 12 | 0.109017(2),[7] 0.109016661(8)[8] | 0.0942019(6),[7] 0.09420165(2)[8] |
7 | 14 | 0.0889511(9), [7] 0.088951121(1),[8] | 0.0786752(3),[7] 0.078675230(2)[8] |
8 | 16 | 0.0752101(5),[7] 0.075210128(1)[8] | 0.06770839(7),[7] 0.0677084181(3)[8] |
9 | 18 | 0.0652095(3),[7] 0.0652095348(6)[8] | 0.05949601(5),[7] 0.0594960034(1)[8] |
10 | 20 | 0.0575930(1),[7] 0.0575929488(4)[8] | 0.05309258(4),[7] 0.0530925842(2)[8] |
11 | 22 | 0.05158971(8),[7] 0.0515896843(2)[8] | 0.04794969(1),[7] 0.04794968373(8)[8] |
12 | 24 | 0.04673099(6),[7] 0.0467309755(1)[8] | 0.04372386(1),[7] 0.04372385825(10)[8] |
13 | 26 | 0.04271508(8),[7] 0.04271507960(10)[8] | 0.04018762(1),[7] 0.04018761703(6)[8] |
实际计算中,当网格边长n较大时,比如n=100,一个体系是否渗流的概率在pc附近的变化已经非常尖锐。
渗流临界指数
模型在渗流阈值附近的行为可视作一种相变,因为有些表征性质的物理量是发散的,比如簇的期望大小。标度理论认为模型在渗流阈值的性质可以用一系列临界指数描述。例如,相互连接的点(点渗流)或边(边渗流)构成一个簇。当时,簇大小的分布趋于,其中为簇的大小,为该大小的簇出现的概率,为费舍尔指数(Fischer exponent)。
又如,两个距离为的点属于同一个簇的概率呈指数衰减,其中为反常维度(Anomalous dimension)。
在渗流阈值时,无限的簇可视作一分形。以该无限的簇上的一点为中心,长度为半径范围内属于该簇点的个数(簇的质量)满足,称为分形维度(Fractal dimension)。以上三个指数满足
渗流临界指数及关系也是渗流理论研究的重要内容。
参考资料
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- Bollobás, Béla; Riordan, Oliver. . Random Structures and Algorithms. 2006, 29 (4): 524–548. ISSN 1042-9832. arXiv:math/0412510. doi:10.1002/rsa.20134.
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- Lorenz, C. D.; R. M. Ziff. . Physical Review E. 1998, 57: 230–236. Bibcode:1998PhRvE..57..230L. arXiv:cond-mat/9710044. doi:10.1103/PhysRevE.57.230.
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