随机图
在數學中,随机图是指由随机过程产生的图[1]。随机图的理论处于图论和概率论的交叉地带,主要研究各种经典随机图的性质。随机图的实际应用主要在复杂网络中所有建模领域中。第一批关于随机图的结果是保罗·埃尔德什和阿尔弗雷德·雷尼在1959年至1966年的一系列论文中提出的ER随机图。[2]。在其他语义中,任何图模型都可以被称为随机图。
定义与模型
随机图的“随机”二字体现在边的分布上。一个随机图实际上是将给定的顶点之间随机地连上边。假设将一些纽扣散落在地上,并且不断随机地将两个纽扣之间系上一条线,这样就得到一个随机图的例子[3]。边的产生可以依赖于不同的随机方式,这样就产生了不同的随机图模型。最常被讨论的模型是Edgar Gilbert提出的 G(n,p)模型:p为边概率,即G中任意两个顶点之间相连的概率。在这种模型下,一个特定的图出现的概率为,其中[4].
与G(n,p)模型紧密相关的模型是埃尔德什和雷尼共同研究的ER模型,表示为G(n,M):拥有M个边的图出现概率是相同的。当0 ≤ M ≤ N, G(n,M) 总共有种可能的确定图,每种图出现的概率是[5]。若将随机图的生成过程描述为一个随机过程:开始时有n个顶点且互相没有边连接,每次迭代都从缺失的边集合中均匀的选择一条新边;那么ER模型可以被看作是随机图生成过程中迭代M次时的一个快照。
另一种随机图模型叫做内积模型,是GilbertG(n,p)模型的推广形式。内积模型的机制是对每一个顶点指定一个实系数的向量,而两个顶点之间是否连接的概率则是它们的向量的内积的函数。
定义更广泛的随机图模型的方法是定义所谓的网络概率矩阵。这个矩阵的系数就是边概率,因此详细刻画了随机图的模型。网络概率矩阵模型可以推广到有向图和带有权重的图。
随机正则图是随机图中特殊的一类,它的性质可能会与一般的随机图不同。
性质
随着边概率的不同,随机图可能会呈现不同的属性。对于最典型的ER模型,埃尔德什与雷尼研究了当顶点数目 n 趋向于正无穷大时,ER随机图的性质与概率 p 之间的关系。他们发现,当 p 的值越过某些门槛时,ER随机图的性质会发生突然的改变[3]。ER随机图的许多性质都是突然涌现的,比如说,当 p 的值小于某个特殊值之前,随机图具有某个性质的可能性等于0,但当 p 的值大于这个特殊值以后,随机图具有这个性质的可能性会突然变成1。
举例来说,当概率 p 大于某个临界值 pc(n) 后,生成的随机图几乎必然是连通的(概率等于1)。也就是说,对于散落在地上的 n 个纽扣,如果你以这样的概率 p 将两个纽扣之间系上线,那么你拿起一颗纽扣时就几乎能带起所有的纽扣了[3]。
随机树
随机树是随机图的一类。如同随机图一样,随机树是一个经由随机过程建立的树或有向树。随机数的类型包括随机最小生成树、随机二叉树、随机二叉查找树和随机森林等。
当顶点数n较大时,顶点数目为k的随机树的分布接近于泊松分布。
随机树的一种生成方法是利用随机置换。首先生成一个 阶随机置换函数,将 个可能连起来的边标上 1 至 的序号。然后按照从小到大的序号排列为原本没有边的图一一添加边。添加第 条边时,如果发现添加后会导致图中出现一个圈,那么就放弃添加这条边,而开始添加第 条边。最后得到的就是一个随机树[6]。
参考来源
- Béla Bollobás, Random Graphs, 2nd Edition, 2001, Cambridge University Press
- 第一篇论文发表于1959年,标题为“On Random Graphs I”(《论随机图 I》),Publ. Math. Debrecen 6, p290.
- 汪小帆,李翔,陈关荣. . 清华大学出版社. 2006. ISBN 9787302125051 (中文).
- Béla Bollobás, Probabilistic Combinatorics and Its Applications, 1991, Providence, RI: American Mathematical Society.
- Béla Bollobás, Random Graphs, 1985, Academic Press Inc., London Ltd.
- Alexandr Kazda. . Center for Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science. [2011-04-24].